\(\int_0^1x\sqrt{1-x}dx\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
a.
Đặt \(\sqrt{1-x^2}=u\Rightarrow x^2=1-u^2\Rightarrow xdx=-udu\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=1\Rightarrow u=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_1\left(1-u^2\right).u.\left(-udu\right)=\int\limits^1_0\left(u^2-u^4\right)du=\left(\dfrac{1}{3}u^3-\dfrac{1}{5}u^5\right)|^1_0\)
\(=\dfrac{2}{15}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
b.
\(\int\limits^2_1\dfrac{dx}{x^2-2x+2}=\int\limits^2_1\dfrac{dx}{\left(x-1\right)^2+1}\)
Đặt \(x-1=tanu\Rightarrow dx=\dfrac{1}{cos^2u}du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow u=0\\x=2\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{1}{tan^2u+1}.\dfrac{1}{cos^2u}du=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{cos^2u}{cos^2u}du=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0du\)
\(=u|^{\dfrac{\pi}{4}}_0=\dfrac{\pi}{4}\)
HT
17 tháng 1 2021
Nhìn đề dữ dội y hệt cr của tui z :( Để làm từ từ
Lập bảng xét dấu cho \(\left|x^2-1\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\)
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| \(x^2-1\) | 0 | 0 |
\(\left(-2;-1\right):+\)
\(\left(-1;1\right):-\)
\(\left(1;2\right):+\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_{-2}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^1_{-1}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^2_1\left|x^2-1\right|dx\)
\(=\int\limits^{-1}_{-2}\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_{-1}\left(x^2-1\right)dx+\int\limits^2_1\left(x^2-1\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^{-1}_{-2}-\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^1_{-1}+\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^2_1\)
Bạn tự thay cận vô tính nhé :), hiện mình ko cầm theo máy tính
HT
17 tháng 1 2021
2/ \(I=\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.lnx.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.dx\)
\(=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}|^e_1=...\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 11 2021
a.
\(\int\limits^{\sqrt{7}}_0\dfrac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx\)
Đặt \(\sqrt[3]{x^2+1}=u\Rightarrow x^2+1=u^3\Rightarrow x^2=u^3-1\Rightarrow x.dx=\dfrac{3}{2}u^2du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=\sqrt{7}\Rightarrow u=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^2_1\dfrac{\left(u^3-1\right).\dfrac{3}{2}u^2du}{u}=\int\limits^2_1\dfrac{3}{2}\left(u^4-u\right)du=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{5}u^5-\dfrac{1}{2}u^2\right)|^2_1\)
\(=\dfrac{141}{20}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 11 2021
b.
Đặt \(\sqrt{x+3}=u\Rightarrow x=u^2-3\Rightarrow dx=2udu\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow u=2\\x=6\Rightarrow u=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^3_2\dfrac{u+1}{u^2-3+2}.2udu=\int\limits^3_2\dfrac{2udu}{u-1}=\int\limits^3_22\left(1+\dfrac{1}{u-1}\right)du\)
\(=2\left(u+ln\left|u-1\right|\right)|^3_2=2\left(1+ln2\right)\)
HT
24 tháng 9 2021
\(t=\sqrt{x+1}>0\Rightarrow x=t^2-1\)
\(\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}dx=\dfrac{1}{2t}dx\Rightarrow dx=2tdt\)
\(\Rightarrow I=\int\dfrac{2t^4-t^2-1}{t}.2tdt=2\int\left(2t^4-t^2-1\right)dt\)
Đến đây bạn làm bình thường r thay t bằng căn(x+1) vô là được
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 11 2019
\(3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]dx\le2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}f\left(x\right)dx\) (1)
Ta lại có:
\(3f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{3}\ge2\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)\)
\(\Rightarrow3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]\ge2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)dx\) (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]dx=2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)dx\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(3f'\left(x\right).f^2\left(x\right)=\frac{1}{3}\Rightarrow3\int f'\left(x\right).f^2\left(x\right)dx=\int\frac{1}{3}dx\)
\(\Rightarrow f^3\left(x\right)=\frac{x}{3}+C\)
Thay \(x=0\Rightarrow f^3\left(0\right)=C\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f^3\left(x\right)=\frac{x}{3}+1\Rightarrow\int\limits^1_0f^3\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(\frac{x}{3}+1\right)dx=\frac{7}{6}\)
Đặt \(\sqrt{1-x}=u\Rightarrow x=1-u^2\Rightarrow dx=-2udu\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=1\Rightarrow u=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_1\left(1-u^2\right).u.\left(-2udu\right)=\int\limits^1_0\left(2u^2-2u^4\right)du=\left(\dfrac{2}{3}u^3-\dfrac{2}{5}u^5\right)|^1_0=\dfrac{4}{15}\)