Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vì (a-1)2 ≥ 0 nên a2 +1 ≥ 2a ∀mọi x (1)
vì (b-1)2 ≥ 0 nên b2 +1 ≥ 2b ∀ mọi x (2)
từ 1 và 2 ⇒ a2+b2 ≥ 2a+2b
⇒ A≥ 2(a+b)=2
dấu''=' xảy ra khi a=b=1/2
Ta thấy \(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=1\) và \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\). Áp dụng BĐT B.C.S, ta được \(P=\dfrac{a^4}{ba^2+a^2}+\dfrac{b^4}{ab^2+b^2}\) \(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ba^2+ab^2+a^2+b^2}=\dfrac{2^2}{ab\left(a+b\right)+2}\ge\dfrac{4}{1.2+2}=1\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy GTNN của P là 1 khi \(a=b=1\)
Xét Q^2=(a^2+b^2)^2/(a-b)^2.Đặt a^2+b^2=x thì (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=x-4.Do a>b nên x-4>0.
A^2=x^2/x-4=(x^2-16)/x-4+16/(x-4)=x+4+16/x-4=x-4+16/(x-4)+8>=8+8=16(dùng Cô-si cho 2 số)
suy ra A>=4.
Dấu =xảy ra khi x-4=16(x-4)>>>x-4=4>>>x=8>>>a-b=2 và a+b=2 căn 3 >>>tìm ra a và b
Xét Q^2=(a^2+b^2)^2/(a-b)^2.Đặt a^2+b^2=x thì (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=x-4.Do a>b nên x-4>0.
A^2=x^2/x-4=(x^2-16)/x-4+16/(x-4)=x+4+16/x-4=x-4+16/(x-4)+8>=8+8=16(dùng Cô-si cho 2 số)
suy ra A>=4.
Dấu =xảy ra khi x-4=16(x-4)>>>x-4=4>>>x=8>>>a-b=2 và a+b=2 căn 3 >>>tìm ra a và b
k cho mk nha $_$
Cho hai số a,b thỏa mãn a^2+b^2=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=a^6+b^6
\(A=a^6+b^6=\left(a^2\right)^3+\left(b^2\right)^3\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4-a^2b^2\right)\)
\(=1.\left[\left(a^4+b^4+2a^2b^2\right)-3a^2b^2\right]\)
\(=\left(a^2+b^2\right)^2-3a^2b^2\)
\(=1^2-3a^2b^2\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
\(\Rightarrow ab\le1:2=0,5\Rightarrow3a^2b^2\le\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A=1^2-3a^2b^2\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow MinA=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy ...
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+4\geq 4b$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2a+4b-5$
$\Rightarrow P\geq 2a+4b-5+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b}$
$=\frac{a+b}{9}+\frac{1}{a+b}+(\frac{b}{4}+\frac{1}{b})+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{9}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$=\frac{2}{3}+1+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$\geq \frac{2}{3}+1+\frac{17}{9}+\frac{131}{36}.2-5=\frac{35}{6}$
Vậy $P_{\min}=\frac{35}{6}$ khi $a=1; b=2$
Lời giải:
Do $a\geq 4, b\geq 5, c\geq 6$
$\Rightarrow c^2=90-a^2-b^2\leq 90-4^2-5^2=49$
$\Rightarrow c\leq 7$
$a^2=90-b^2-c^2\leq 90-5^2-6^2=29< 81$
$\Rightarrow a< 9$
$b^2=90-a^2-c^2=90-4^2-6^2=38< 64$
$\Rightarrow b< 8$
Vậy $4\leq a< 9, 5\leq b< 8, 6\leq c\leq 7$
Suy ra:
$(a-4)(a-9)\leq 0$
$(b-5)(b-8)\leq 0$
$(c-6)(c-7)\leq 0$
$\Rightarrow (a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\leq 0$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+118\leq 13(a+b+c)$
$\Rightarrow 90+208\leq 13P$
$\Rightarrow P\geq 16$
Vậy $P_{\min}=16$. Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(4,5,7)$
Đáp án C.
Ta có P = 2 b a 2 b a − 1 2 + 1 2 . 2 b a + 1. Đặt t = 2 b a , do 0 < b < 2 → t > 1.
Xét hàm số f ( t ) = t t − 1 2 + t 2 + 1 trên 1 ; + ∞ .
Đạo hàm
f ' ( t ) = ( t − 1 ) 2 − 2 t ( t − 1 ) ( t − 1 ) 4 + 1 2 = t + 1 ( t − 1 ) 3 + 1 2 ; f ' ( t ) = 0 ⇔ t = 3.
Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thấy min f ( x ) = f ( 3 ) = 13 4 . Vậy P min = 13 4 .