Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Toán lớp 0 ????? \(\text{ 🤔 }\text{ 🤔 }\text{ 🤔 }\text{ 😅 }\text{ 😅 }\text{ 😅 }\)
Mình nghĩ thế này ạ
xy + 2(yz + xz) =5 => xy + 2yz + 2xz =5
Mình áp dụng bất đẳng thức này nhé :)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\forall x,y\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge xy\forall x,y\)(1)
Chứng minh tương tự ta được \(y^2+z^2\ge2yz\forall y,z\)(2)
\(x^2+z^2\ge2xz\forall x,z\)(3)
Cộng vế (1) (2) (3) ta được \(\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+y^2+z^2+x^2+z^2\ge xy+2yz+2xz\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+x^2+y^2+z^2+z^2\)\(\ge5\)\(\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2+2z^2\ge5\forall x,y,z\)
nhân cả 2 vế với 2 nè
\(\Rightarrow3x^2+3y^2+4z^2\ge10\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)+4z^2\ge10\forall x,y,z\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z;x=z\\xy+2\left(yz+xz\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+2.\left(x^2+x^2\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\5x^2=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}}\)x=y=z = 1 hoăc
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 10 tại x=y=z=1;-1
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$x^5+x^5+x^5+1+1\geq 5\sqrt[5]{x^{15}}=5x^3$
$y^5+y^5+y^5+1+1\geq 5\sqrt[5]{y^{15}}=5y^3$
$\Rightarrow 3(x^5+y^5)+4\geq 5(x^3+y^3)\geq 10$ (do $x^3+y^3\geq 2$)
$\Leftrightarrow x^5+y^5\geq 2$
Vậy $C_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
\(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x^3+y^3\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x+y+2}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{x+y+2}\)
Áp dụng BĐT cô si với các số dương x2 ; y2 ; x4 ; y4 ta được :
\(B\ge\frac{2x^2y^2+\left(x+y\right)\left(2xy-1\right)}{x+y+2}=\frac{2+\left(x+y\right)}{x+y+2}=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Đáp án C.
Ta có:
G T ⇔ 5 x + 2 y + x + 2 y − 3 − x − 2 y = 5 x y − 1 − 3 1 − x y + x y − 1.
Xét hàm số
f t = 5 t + t − 3 − t ⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 − t ln 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ suy ra f x + 2 y = f x y − 1 ⇔ x + 2 y = x y − 1
⇔ x = 2 y + 1 y − 1 ⇒ T = 2 y + 1 y − 1 + y . Do x > 0 ⇒ y > 1
Ta có: T = 2 + y + 3 y − 1 = 3 + y − 1 + 3 y − 1 ≥ 3 + 2 3 .
Đáp án C.
Ta có: GT
<=> 5x+2y + x + 2y – 3–x–2y = 5xy–1 – 31–xy + xy – 1.
X é t h à m s ố f t = 5 t + t - 3 - t
⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 - t ln 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ suy ra
f(x+2y) = f(xy – 1) <=> x+ 2y = xy – 1
⇔ x = 2 y + 1 y - 1 ⇒ T = 2 y + 1 y - 1 + y .
Do x > 0 => y > 1.
Ta có:
T = 2 + y + 3 y - 1 = 3 + y - 1 + 3 y - 1 ≥ 3 + 2 3 .
