Cho x, y là hai số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 4 x 2 y 2 x 2 + y 2 + x 2 y 2 + y 2 x 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 5 2019
Ta có : (x+y)2+7x+7y+y2+6=0
( x2 + y2 + \(\frac{49}{4}\)+ 7x + 7y + 2xy ) + y2 - \(\frac{25}{4}\)= 0
( x + y + \(\frac{7}{2}\))2 = \(\frac{25}{4}\)- y2 \(\le\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{-5}{4}\le x+y+\frac{7}{2}\le\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{-15}{4}\le x+y+1\le\frac{-5}{4}\)
\(\Rightarrow\)......
1 tháng 5 2019
lon so roi,
thay -5/4 thành -5/2 ; 5/4 thành 5/2
-15/4 thành -5 ; 5/2 thành 0
6 tháng 1 2021
\(3=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}\right)\ge2+\left|xy\right|\Rightarrow\left|xy\right|\le1\Rightarrow-1\le xy\le1\Rightarrow Bantulmtiep\)
PN
6 tháng 1 2021
dùng bđt cô si vào phần giả thiết đã cho nhé bạn , mình đang bận không tiện làm . Nếu cần thì tối rảnh mình làm cho
5 tháng 12 2018
ĐK: x khác 0
Từ\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=6+xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{y}{2}\right)^2=6+xy\)
Do VT > 0\(\Rightarrow6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 + 6 = 2022
29 tháng 1 2019
tth : Viết nhầm :V
Đoạn cuối \(6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge-6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 - 6 = 2010 !!!
Được rồi chứ gì -.-
10 tháng 4 2019
Ta có:\(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\forall x,y\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si vào các số dương \(\frac{x^2}{y^2},\frac{y^2}{x^2}\)ta có:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}}=2\left(2\right)\)
Áp dụng BĐT \(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:
\(A=3\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)-8\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge3.2-8.2=-10\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y\)
Vậy \(A_{min}=-10\)khi \(x=y\)
^^
VD
16 tháng 6 2016
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\). Ta có:
\(A=3\left(t^2-2\right)-8t=3t^2-8t-6\)nên:
\(A\ge-10\Leftrightarrow3t^2-8t-6\ge-10\Leftrightarrow3t^2-8t+4\ge0\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(3t-2\right)\ge0\), luôn đúng do:
\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)với \(x,y\) cùng dấu và \(t\le-2\) với \(x,y\)khác dấu.
Dấu "=" xảy ra khi \(t=2\Leftrightarrow x=y.\)
16 tháng 11 2016
Ta có: \(A=2013-xy\Leftrightarrow y=\frac{2013-A}{x}\)
Đặt \(2013-A=B\)thì ta có \(y=\frac{B}{x}\)(1)
Theo đề bài có
\(5x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow5x^2+\frac{B^2}{4x^2}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow20x^4-10x^2+B^2+1=0\)
Để PT có nghiệm (theo biến x2) thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow5^2-20\left(B^2+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow B^2\le0,25\Leftrightarrow-0,5\le B\le0,5\)
\(\Leftrightarrow-0,5\le2013-A\le0,5\)
\(\Leftrightarrow2012,5\le A\le2013,5\)
Đạt GTLN khi \(\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},-1;-\frac{1}{2},1\right)\)
Đạt GTNN khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2},1;-\frac{1}{2},-1\right)\)
CM
17 tháng 4 2017
Đáp án C
Suy ra f(t) đồng biến trên TXĐ và pt f(t) = 21 chỉ có 1 nghiệm duy nhất
Ta thấy t = 10 là 1 nghiệm của pt nên t = 10 là nghiệm duy nhất của pt
⇒ 11 − 2 x − y = 10 ⇒ y = 1 − 2 x ⇒ P = 16 x 2 ( 1 − 2 x ) − 2 x ( 3 − 6 x + 2 ) − 1 + 2 x + 5 = − 32 x 3 + 28 x 2 − 8 x + 4 P ' = − 96 x 2 + 56 x − 8 P ' = 0 ⇔ x = 1 4 x = 1 3 P ( 0 ) = 4 , P ( 1 3 ) = 88 27 , P ( 1 4 ) = 13 4 , P ( 1 2 ) = 3 ⇒ m = 13 4 , M = 4 ⇒ M + 4 m = 17
Biến đổi M, ta được
M = 4 x 2 y 2 x 2 + y 2 + x 2 y 2 + y 2 x 2 = 4 x y + y x 2 + x y 2 + y x 2
Đặt a = x y ; b = y x ta được ab = 1, suy ra a 2 + b 2 ≥ 2
Từ đó ta có
M = 4 a + b 2 + a 2 + b 2 = 4 a 2 + b 2 + 2 + a 2 + b 2 + 2 4 + 3 a 2 + b 2 + 2 4 - 2 ≥ 2 + 3 – 2 = 3
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = ±1 <=>