Question

[Trương Kim Lam Ngọc]

Cho tam giác ABD vuông tại A.  Có AB = 6cm, AD = 8cm.  Gọi O là trung điểm của DB.

a)  Tính AO.

b)  Lấy điểm C đối xứng với điểm A qua O. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

c)  Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AH và DH. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh EB // FI.

d)  Chứng minh rằng  BE⊥AF.

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) \(\Delta ABD\)vuông tại A \(\Rightarrow BD^2=AB^2+AD^2\left(Pytago\right)\)

Thay AB = 6cm; AD = 8cm (gt), ta có: \(BD^2=6^2+8^2=36+64=100\Rightarrow BD=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

\(\Delta ABD\)vuông tại A có trung tuyến AO (do O là trung điểm BD) \(\Rightarrow AO=\frac{BD}{2}\)(tính chất tam giác vuông)

Mà BD = 10cm (cmt) \(\Rightarrow AO=\frac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

b) Xét tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn

\(\Rightarrow\)Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mà \(\widehat{BAD}=90^0\)(vì \(\Delta ABD\)vuông tại A) \(\Rightarrow\)Tứ giác ABCD là hình chữ nhật (đpcm)

c) Xét \(\Delta ADH\)có E và F lần lượt là trung điểm của AH, DH (gt)

\(\Rightarrow\)EF là đường trung bình của \(\Delta ADH\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}EF//AD\\EF=\frac{1}{2}AD\end{cases}}\)

Vì AD = BC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành theo cmt) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}EF//BC\\EF=\frac{1}{2}BC\end{cases}}\)

Lại có \(BI=\frac{1}{2}BC\)và I thuộc BC vì I là trung điểm BC (gt) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}EF//BI\\EF=BI\left(=\frac{1}{2}BC\right)\end{cases}}\)

Xét tứ giác BEFI có EF//BI và EF = BI (cmt) \(\Rightarrow\)Tứ giác BEFI là hình bình hành \(\Rightarrow\)EB // FI (đpcm)

d) Ta có EF // AD (cmt), mà \(AD\perp AB\)(vì \(\Delta ABD\)vuông tại A (gt))

\(\Rightarrow EF\perp AB\)\(\Rightarrow\)EF là một phần của đường cao của \(\Delta ABF\)

Vì \(AH\perp BF\)tại H nên AH là đường cao của \(\Delta ABF\)

Xét \(\Delta ABF\)có hai đường cao EF và AH cắt nhau tại E \(\Rightarrow\)E là trực tâm của \(\Delta ABF\)

\(\Rightarrow BE\perp AF\)(đpcm)