Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định BC = 2a và đỉnh A thay đổi. Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC,...

#Mẫu giáo

1

CM

Cao Minh Tâm

1 tháng 10 2019

Cho tam giác ABC có D là chân đường phân giác trong, D thuộc BC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt phân giác ngoài tại đỉnh A ở I. Vẽ đường tròn (I;ID) cắt AB,AC lần lượt tại E,F. Gọi G là tâm ngoại tiếp tam giác AEF, K là giao điểm của đường đối trung xuất phát từ A của tam giác AEF với (AEF). Chứng minh rằng đường thẳng KG luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi trên cung lớn BC...

NT

Nguyễn Thị Thủy

12 tháng 10 2019

#Toán lớp 10

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

12 tháng 10 2019

Gọi giao điểm khác D của hai đường tròn (BED);(CFD) là K'; K'I cắt EF tại L; DL cắt (I;ID) tại M khác D.

Ta thấy IE = IF; AI là phân giác ngoài của ^EAF, từ đây dễ suy ra 4 điểm A,E,I,F cùng thuộc một đường tròn

Vì 3 điểm D,F,E lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB của \(\Delta\)ABC nên (BED);(CFD);(AFE) đồng quy (ĐL Miquel)

Hay điểm K' thuộc đường tròn (AIFE). Do vậy LI.LK' = LE.LF = LD.LM (= P_L/(G) = P_L/(I) )

Suy ra 4 điểm K',M,I,D cùng thuộc một đường tròn. Mà ID = IM nên ^IK'D = ^IK'M.

Đồng thời ^DIM = 180⁰ - ^DK'M = 180⁰ - ^EK'F + 2.^FK'D = ^BAC + 2.^ACB = 2.^AID

Suy ra IA vuông góc DM, từ đó M,L,D,A thẳng hàng (Vì IA cũng vuông góc AD)

Khi đó dễ thấy AL là phân giác ^BAC, K'L là phân giác ^EK'F, mà tứ giác AEK'F nội tiếp

Suy ra AEK'F là tứ giác điều hòa, từ đây AK' là đường đối trung của \(\Delta\)AEF

Suy ra K' trùng K. Kẻ tiếp tuyến Kx của (G), ta có ^BKx = ^EKx - ^EKB = ^EFK - ^EFD = ^BCK

Do đó (BKC) tiếp xúc với (G) tại K, tức KG đi qua tâm của (BKC) (1)

Gọi S là trung điểm cung lớn BC của (ABC). Có SB = SC và ^BKC = ^AED + ^AFD = 180⁰ - ^BSC/2

Suy ra S là tâm của đường tròn (BKC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra KG luôn đi qua S cố định (Vì S là trung điểm cùng BC lớn cố định) (đpcm).

Cho tam giác ABC có ^A=90, hai đỉnh A và B cố định và C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC va P,Q,R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB, hai đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D.a)CM B, D, Q, R nằm trên một đường tròn.b) CM rằng khi C thay đổi trên At đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm...

NN

Nhung Nguyễn Khánh

22 tháng 5 2016

Cho tam giác ABC có ^A=90, hai đỉnh A và B cố định và C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC va P,Q,R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB, hai đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D.a)CM B, D, Q, R nằm trên một đường tròn.b) CM rằng khi C thay đổi trên At đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm...

#Toán lớp 9

0

NN

Nhung Nguyễn Khánh

22 tháng 5 2016

Cho tam giác ABC vuông tại A, C ^ = 30 ° . Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC, cắt AC tại H và cắt BC tại D. Nối A và D.a) Chứng minh tam giác ABD đều.b) Kẻ phân giác góc B ^ cắt AD tại K, cắt DH kéo dài tại I. Chứng minh I là tâm đường trong đi qua ba đỉnh, của tam giác ADC.c) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của I xuống các đường thẳng BC, BA. Chứng...

#Toán lớp 9

0

PT

Pham Trong Bach

19 tháng 5 2018

1

CM

Cao Minh Tâm

19 tháng 5 2018

Cho tam giác ABC, đường phân giác AI ( I thuộc BC ). Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H. Từ H kẻ đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F. Chứng minh rằng: a) Đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua đỉnh A của tam giác ABC b) Đường trung trực của đoạn thẳng EF vuông góc với AIc,Khi H chuyển động trên tia IC của tam giác ABC thì đường trung tuyến của EF cố định.(mink...

TN

Trần Nho Huệ

2 tháng 5 2019

1

LH

Lê Hồ Trọng Tín

2 tháng 5 2019

a)Ta có: BAI=CAI (AI là đường phân giác BAC)

Do:FH//AI=>CFH=CAI và BAI=AEF( đồng vị)

Mà:CFH=AFE(2 góc đối đỉnh)

Suy ra: AFE=AEF

Xét \(\Delta\)AFE:AFE=AEF=>\(\Delta\)AFE cân tại A=>Đường trung trực của EF đồng thời là đường cao

Hay:Đường trung trực của EF đi qua A

b) Như đã nói ở câu a:Đường trung trực của EF đồng thời là đường cao, giả sử ấy là AM

Ta có:AMF=90

Mà FH//AI=>AMF+MAI=180=>MAI=90=>AM\(\perp\)AI

Hay đường trung trực của EF vuông góc với AI

c)Do AI cố định nên đường trung trực của EF cố định

Mà \(\Delta\)AFE cân nên đường trung trực của EF đồng thời là đường trung tuyến ứng với EF

Hay đường trung tuyến ứng với EF cố định

NT

Nguyênx Thị Hà Thu

7 tháng 7 2020

cho tam giác ABC vuông tại B ,có góc A =60 độ .vẽ đường phân giác AD ( D thuộc BC ) .Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AC tại M và cắt AB tại N . gọi I là giao điểm của AD và BM . Chứng minh

a, tam giác BAD = tam giác MAD

b, AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM

c, chứng minh điểm D cách đều ba đỉnh ba cạch của tam giác ACN

Cho (O) và 2 điểm B,C cố định nhưng BC không là đường kính. Điểm A thay đổi trên (O) sao cho △ABC nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, đường phân giác góc BHC cắt BC tại D. Gọi E,F là điểm đối xứng cúa D qua AB và AC. Chứng minh đường tròn ngoại...

1

TT

Trí Tiên亗

12 tháng 7 2020

a) XÉT \(\Delta BAD\)VÀ \(\Delta MAD\)CÓ

\(\widehat{ABD}=\widehat{AMD}=90^o\)

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(GT\right)\)

AD LÀ CẠNH CHUNG

=>\(\Delta BAD\)=\(\Delta MAD\)( CH-GN)

B) VÌ \(\Delta BAD\)=\(\Delta MAD\)(CMT)

\(\Rightarrow BA=MA\)HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG

\(\Rightarrow\Delta ABM\) CÂN TẠI A

MÀ \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(GT\right)\)

=> AI LÀ PHÂN GIÁC CỦA \(\widehat{BAM}\)

MÀ TRONG TAM GIÁC CÂN TIA PHÂN GIÁC CŨNG LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

=> AI LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐỌAN BM

MÀ I NẰM TRÊN ĐỌAN AD

=> AD LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐỌAN BM

C)

chứng minh DH=DB=DM

sao đó là mà D là điểm nằm trog tam giác acn

=> d cách đều các cạnh tam giác acn

Đúng(2)

N

nnh

2 tháng 2 2018

cho tam giác ABC đường thẳng vuông góc với AB tại A và đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt nhau ở D Gọi H là trực tâm tam giác

chứng minh DH đi qua trung điểm AC

tìm điều kiện của tam giác ABC để 3 điểm B H D thẳng hàng

#Toán lớp 8

0

IL

I lay my love on you

28 tháng 2 2021

#Toán lớp 10

0

PT

Pham Trong Bach

4 tháng 9 2018

Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI (I thuộc BC). Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H. Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F. Chứng minh:a) Đường trung trực của EF luôn đi qua đỉnh A của tam giác ABC;b) Khi H di động trên đoạn thẳng ỈC thì đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố...

1

CM

Cao Minh Tâm

4 tháng 9 2018