Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn la.bl=1 và lc.dl=1
Chứng minh : \(\frac{a^2}{a^2+2c^2}=\frac{d^2}{2b^2+d^2}\)
Nhờ cô giúp em bài này ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
F
4 tháng 9 2020
Vì \(a^2+b^2\ge2ab,b^2+1\ge2b\),ta có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+1}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)và \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)
Khi đó\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow A\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\)
Dấu"="trg BĐT trên xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Vậy \(Max_P=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
4 tháng 9 2020
Chắc không được GP đâu !!
Áp dụng bđt cauchy , ta có :
+) \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2\)
+) \(b^2+2c^2+3\ge2bc+2c+2\)
+) \(c^2+2a^2+3\ge2ac+2a+2\)
Khi đó , ta có :
\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ac+2a+2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{bc+c+1}+\frac{abc}{ac+a+1}\right)\)( vì abc= 1 )
\(=\frac{1}{2}=VP\)( đoạn này ban tự phân tích ra nha , mk lmaf hơi tắt )
Vậy .................
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2022
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{2b}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{b}{2}\right)\)
\(\dfrac{ac}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{c}{2}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{9}.\left(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
23 tháng 2 2018
Thế chú học có hơn ai không mà sao chú nói vậy đấy ngon làm đi
VT
21 tháng 10 2019
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2022
Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+b+c+d\right)\left(1+b+c+d\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=16\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b+c+d}\le\dfrac{1+b+c+d}{16}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b^2+c+d+a}\le\dfrac{1+c+d+a}{16}\) ; \(\dfrac{1}{c^2+d+a+b}\le\dfrac{1+d+a+b}{16}\)
\(\dfrac{1}{d^2+a+b+c}\le\dfrac{1+a+b+c}{16}\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{4+3\left(a+b+c+d\right)}{16}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
