Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left[\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)+1\right]}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}\)
\(\Rightarrow u_n=\frac{1.\left(3^2-3+1\right)}{3.\left(2^2-2+1\right)}.\frac{2\left(4^2-4+1\right)}{4.\left(3^2-3+1\right)}.\frac{3\left(5^2-5+1\right)}{5\left(4^2-4+1\right)}...\frac{\left(n-1\right)\left[\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)+1\right]}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}\)
\(\Rightarrow u_n=\frac{1.2.\left[\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)+1\right]}{\left(2^2-2+1\right).n\left(n+1\right)}=\frac{2n^2+2n+2}{3n^2+3n}\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\frac{2n^2+2n+2}{3n^2+3n}=\frac{2}{3}\)
Một câu thôi: Liên hợp
\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\dfrac{2.1-\sqrt{2}}{2^2-2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9.2-4.3}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Nên chứng minh bằng quy nạp mạnh cho chặt chẽ, giờ tui buồn ngủ quá nên bạn tự chứng minh nha :(
\(\Rightarrow u_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow\lim\limits\left(u_n\right)=\lim\limits\dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}}=1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=a\\u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow u_n\) là CSN với công bội \(q=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u_n=a.\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(\frac{a}{2^{n-1}}\right)=0\)
