Question

[VŨ NGỌC MINH CHÂU]

Cho hình bình hành ABCD, giao điểm AC và BD là O, lấy E là điểm nằm giữa B và O, điểm K nằm giữa D và O sao cho BE=DK,AK cắt CD tại M, CE cắt AB tại N.

a. c/m tứ giác AKCE là hình bình hành.

b. c/m AN=CM

c. c/m các đường thẳng MN, EK, AC cùng đi qua một điểm.

d. Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì để tứ giác AKCE là hình thoi? Khi đó hãy tính diện tích đa giác ABCD biết AD= 5cm, BD= 8cm.

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Bạn tự vẽ hình nhé. 

a) Xét tứ giác \(AKCE\)có: \(OA=OC\)(tính chất hình bình hành) 

                                              \(OK=OE\)(vì \(OE=BO-BE=DO-DK=OK\))

suy ra \(AKCE\)là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành).

b) \(AKCE\)là hình bình hành nên \(AK//CE\Rightarrow AM//CN\).

Xét tứ giác \(AMCN\)có: \(AM//CN\)(cmt)

                                            \(AN//CM\)(do \(AB//CD\))

suy ra \(AMCN\)là hình bình hành. 

\(\Rightarrow AN=CM\).

c) \(O\)là giao điểm của \(AC\)và \(KE\). 

Vì \(AMCN\)là hình bình hành nên \(MN\), \(AC\)cắt nhau tại trung điểm mỗi đường suy ra \(MN\)cắt \(AC\)tại \(O\).

Suy ra đpcm. 

d) Để \(AKCE\)là hình thoi thì \(AC\perp KE\)(hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi) 

suy ra \(AC\perp BD\)suy ra \(ABCD\)là hình thoi.

Khi đó: 

Xét tam giác \(AOD\)vuông tại \(O\): \(AD^2=AO^2+OD^2\)(định lí Pythagore) 

                                                            \(\Leftrightarrow AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=4.S_{AOD}=4.\frac{1}{2}AO.OD=4.\frac{1}{2}.3.4=24\left(cm^2\right)\)