Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC (M không trung B và C). Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC
a) Tứ giác AEMD là hình gì?
b) Gọi P là điểm đối xứng của M qua D, K là điểm đối xứng của của M qua E và I là trung điểm của DE. Chứng minh P đối xứng với K qua A
c) Khi M chuyển động trên đoạn BC thì I chuyển động trên đường nào?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác AEMD có
\(\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=\widehat{DAE}=90^0\)
Do đó: AEMD là hình chữ nhật
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giac AEMD có
góc AEM=góc ADM=góc DAE=90 độ
nen AEMD là hình chữ nhật
b: Xét ΔAMP có
AB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
nên ΔAMP cân tại A
=>AB là phân giác của góc MAP(1)
Xét ΔAMK có
AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
nên ΔMKA cân tại A
=>AC là phân giác của góc MAK(2)
Từ (1), (2) suy ra góc KAP=2*90=180 độ
=>K,A,P thẳng hàng
mà AK=AP
nên A là trung điểm của KP
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
TL
a) Xét tứ giác AEMD có
ˆEAD=900EAD^=900(ˆBAC=900BAC^=900, E∈AC, D∈AB)
ˆAEM=900AEM^=900(ME⊥AC)
ˆADM=900ADM^=900(MD⊥AB)
Do đó: AEMD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b)
Ta có: K và M đối xứng nhau qua E(gt)
nên E là trung điểm của KM
Xét ΔAKM có
AE là đường cao ứng với cạnh KM(AE⊥ME, K∈ME)
AE là đường trung tuyến ứng với cạnh KM(E là trung điểm của KM)
Do đó: ΔAKM cân tại A(Định lí tam giác cân)
mà AE là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy KM(E là trung điểm của KM)
nên AE là tia phân giác của ˆKAMKAM^(Định lí tam giác cân)
hay ˆKAE=ˆMAEKAE^=MAE^
Ta có: M và P đối xứng nhau qua D(gt)
nên D là trung điểm của MP
Xét ΔAMP có
AD là đường cao ứng với cạnh MP(AD⊥MD, P∈MD)
AD là đường trung tuyến ứng với cạnh MP(D là trung điểm của MP)
Do đó: ΔAMP cân tại A(Định lí tam giác cân)
mà AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy MP(D là trung điểm của MP)
nên AD là tia phân giác của ˆMAPMAP^(Định lí tam giác cân)
hay ˆPAD=ˆMADPAD^=MAD^
Ta có: tia AM nằm giữa hai tia AE, AD
nên ˆEAM+ˆDAM=ˆEADEAM^+DAM^=EAD^
hay ˆEAM+ˆDAM=900EAM^+DAM^=900
Ta có: ˆKAP=ˆKAE+ˆMAE+ˆMAD+ˆPADKAP^=KAE^+MAE^+MAD^+PAD^
⇔ˆKAP=2⋅(ˆMAE+ˆMAD)⇔KAP^=2⋅(MAE^+MAD^)
⇔ˆKAP=2⋅900=1800⇔KAP^=2⋅900=1800
⇔K,A,P thẳng hàng(1)
Ta có: ΔAKM cân tại A(cmt)
nên AK=AM
Ta có: ΔAMP cân tại A(cmt)
nên AM=AP
mà AK=AM(cmt)
nên AP=AK(2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của KP
hay P đối xứng với K qua A(đpcm)
HT
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét tứ giác ADME, ta có:
∠ A= 90 0 (gt)
MD ⊥ AB (gt)
⇒ ∠ (ADM) = 90 0
Lại có, MD ⊥ AC ⇒ ∠ (MEA) = 90 0
Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)
∆ ABC vuông cân tại A ⇒ ∠ B = 45 0 và AB = AC = 4cm
Suy ra: ∆ DBM vuông cân tại D
⇒ DM = DB
Chu vi hình chữ nhật ADME bằng:
2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = 2.4 = 8 (cm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác ADME có
\(\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=\widehat{EAD}=90^0\)
Do đó: ADME là hình chữ nhật
Suy ra: AM=DE
Xét ba vị trí M, M', M'' thì dễ thấy I di động trên đường thẳng song song với BC.
Kẻ \(IV\perp BC,AU\perp BC\left(U,V\in BC\right)\)
Tứ giác AEMD là hình chữ nhật có I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của AM
Lại có \(IV//AU\)(cùng vuông góc với BC) nên V là trung điểm của UM
Có I là trung điểm của AM, V là trung điểm của UM nên IV là đường trung bình của \(\Delta AUM\)=> \(IV=\frac{AU}{2}\)(không đổi do \(\Delta ABC\)không đổi)
I cách đường thẳng BC một khoảng bằng \(\frac{AU}{2}\)nên I di động trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng \(\frac{AU}{2}\)
Giới hạn: Khi\(M\equiv B\)thì I là trung điểm của AB, khi \(M\equiv C\)thì I là trung điểm của AC do đó I di động trên đường trung bình của \(\Delta ABC\)
hình đây nha file:///C:/Users/THAOCAT/Pictures/Screenshots/Screenshot%20(1166).png