Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Một số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 3 sẽ có 2 khả năng xảy ra
p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 ;
Với p = 3k + 1
=> (p + 1)(p - 1) = p2-1=(3k+1)2-1=9k2+6k=3k(3k+2)
Vì đây là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 , 3 => (p-1)(p+1) chia hết cho 6
C/m tương tự để chia hết cho 24
Với p = 3k + 2
tương tự
Ta có : \(\left(x^2-4\right).\left(x^2+1\right)=0\)
\(=>\orbr{\begin{cases}x^2-4=0\\x^2+1=0\end{cases}}\)
\(=>\orbr{\begin{cases}x^2=4\\x^2=-1\end{cases}}\)
\(=>\orbr{\begin{cases}x=2\\x=\sqrt{-1}\end{cases}}\)
Bài 1 : Bài giải
Gọi đó là p, q, r > 3 => p, q, r không chia hết cho 3.
=> theo nguyên lý Dirichlet trong 3 số p, q, r phải có ít nhất 2 số chia cho 3 cho cùng số dư.
Do 2d = 2(q - p) = 2(r - q) = r - p nên 2d chia hết cho 3 => d chia hết cho 3.
d = q - p cũng chia hết cho 2 do p, q đều lẻ
Vậy d chia hết cho 2*3 = 6 => đpcm
1a)Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chắc chắn có 2 số chẵn liên tiếp. Trong 2 số chẵn liên tiếp chắc chắn có 1 số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2 = tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8. (1)
Trong 4 số tự nhiên liên tiếp chắc chẵn có 1 số chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 và 8.
Mà 3 và 8 nguyên tố cùng nhau => tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 ( = 8.3)
Bài này áp dụng tính chất: Nếu a chia hết cho b; a chia hết cho c và b và c nguyên tố cùng nhau
=> a chia hết cho (b.c)
+ 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ƯCLN là 1
b)Gọi tổng của 6 số tự nhiên liên típ là A
Ta có : trong 6 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số chia hết cho 2 số đó có dạng 2k
1 số chia hết cho 3 số đó có dạng 3m
1 số chia hết cho 4 số đó có dạng 4n
1 số chia hết cho 5 số đó có dạng 5p
1 số chia hết cho 6 số đó có dạng 6q
Với m, n , k , p , q thuộc N
A = 2k . 3m . 4n . 5p . 6q = 720.mnpqk đpcm
bạn tham khảo nhé ^-^
1a)Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chắc chắn có 2 số chẵn liên tiếp. Trong 2 số chẵn liên tiếp chắc chắn có 1 số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2 = tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8. (1)
Trong 4 số tự nhiên liên tiếp chắc chẵn có 1 số chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 và 8.
Mà 3 và 8 nguyên tố cùng nhau => tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 ( = 8.3)
Bài này áp dụng tính chất: Nếu a chia hết cho b; a chia hết cho c và b và c nguyên tố cùng nhau
=> a chia hết cho (b.c)
+ 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ƯCLN là 1
b)Gọi tổng của 6 số tự nhiên liên típ là A
Ta có : trong 6 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số chia hết cho 2 số đó có dạng 2k
1 số chia hết cho 3 số đó có dạng 3m
1 số chia hết cho 4 số đó có dạng 4n
1 số chia hết cho 5 số đó có dạng 5p
1 số chia hết cho 6 số đó có dạng 6q
Với m, n , k , p , q thuộc N
A = 2k . 3m . 4n . 5p . 6q = 720
Ta sẽ CM nó chia hết cho 2 và 3 thì sẽ chia hết cho 6 bởi vì (2;3)=1
Dễ thấy P là sô nguyên tố lớn hơn 3 nên P sẽ có dạng 2k+1( vì nếu P chia hết cho 2 mà P lớn hơn 2 thì P không phải số nguyên tố )
Do đó (P-1)(P+4)=2k(2k+5) chia hêt cho 2. Vậy (P-1)(P+4) chia hết cho 2
Mặt khác cũng do P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P sẽ có một trong 2 dạng 3k+1 hoặc 3k+2
Nếu P=3k+1 thì (P-1)(P+4)=3k(3k+5) chia hết cho 3
Nếu P=3k+2 thì (P-1)(P+4)=(3k+1)(3k+6)=(3k+1)3(k+2) chia hết cho 3. Vậy (P-1)(P+4) chia hết cho 3
Mà (2;3)=1 Nên (P-1)(P+4) chia hết cho 2*3=6
Ta có: Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
=> p lẻ => p - 1 và p + 1 chẵn và \(p+1>p-1\ge2\)
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)\) chia hết cho 8 (*)
Vì p là số nguyên tố nên ta xét các dạng của p như sau:
Nếu \(p=3k+1\left(k\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow BT=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)\) chia hết cho 3 (1)
Nếu \(P=3k+2\left(k\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow BT=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)\) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (**)
Từ (*) và (**) => (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24