Question

[Phuong Trinh Nguyen]

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. M là trung điểm của AB. Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật.
b) Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE. Chứng minh tứ giác AEHD là hình bình hành.
c) Gọi N là điểm đối xứng của A qua H. Chứng minh tứ giác AENB là hình thoi.
d) MN cắt BH tại K. Chứng minh BE = 3BK

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét tứ giác AHBD có

M là trung điểm của đường chéo AB(gt)

M là trung điểm của đường chéo HD(H và D đối xứng nhau qua M)

Do đó: AHBD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AHBD có \(\widehat{AHB}=90^0\)(AH⊥BC)

nên AHBD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: AHBD là hình chữ nhật(cmt)

nên AD//HB và AD=HB(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHBD)

mà E∈HB và HE=HB(gt)

nên AD//EH và AD=EH

Xét tứ giác AEHD có AD//EH(cmt) và AD=EH(cmt)

nên AEHD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c) Ta có: EH=BH(gt)

mà E,H,B thẳng hàng

nên H là trung điểm của EB

Xét tứ giác AENB có

H là trung điểm của đường chéo EB(cmt)

H là trung điểm của đường chéo AN(A và N đối xứng nhau qua H)

Do đó: AENB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AENB có AN⊥EB(AH⊥BC, E∈BC, N∈AH)

nên AENB là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)