Cho ΔABC vuông tại A. Từ một điểm M bất kỳ trong tam giác kẻ MH ⊥ BC, MJ ⊥ AC, MK ⊥ AB. Tìm vị trí của M sao cho tổng \(MH^2+MJ^2+MK^2\) nhỏ nhất.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
9 tháng 8 2020
Kẻ \(AN\perp BC\) tại \(N\). \(\Rightarrow AN\) không đổi.
Xét tứ giác \(AKMJ\) có : \(\hept{\begin{cases}\widehat{KAM}=90^o\\\widehat{AKM}=90^o\\\widehat{AJM}=90^o\end{cases}}\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow AKMJ\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow MJ^2+MK^2=KJ^2=AM^2\) ( định lý Pytago )
Ta có BĐT sau : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Do đó với ba điểm \(A,M,H\) thì :
\(AM^2+MH^2\ge\frac{\left(AM+MH\right)^2}{2}\ge\frac{AH^2}{2}\ge\frac{AN^2}{2}\) không đổi
Hay : \(MH^2+MJ^2+MK^2\ge\frac{AN^2}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow M\) là trung điểm của đường cao \(AN\)
29 tháng 5 2021
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, ta có:
\(MI^2+MJ^2+MK^2=MI^2+MA^2=\left(MI+MA\right)^2-2MI.MA\ge\frac{\left(MI+MA\right)^2}{2}\)
Lại có: \(MI+MA\ge AI\ge AH\), cho nên: \(MI^2+MJ^2+MK^2\ge\frac{AH^2}{2}\)(không đổi)
Dấu "=" xảy ra <=> M là trung điểm AH.