Tìm x,y thỏa mãn các đẳng thức :\(x^3+y^3-8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+7x^2y+7xy^2=0\)
và \(\sqrt{y}-\sqrt{2x-3}+2x=6\)
GIÚP MK NHA MK CẦN GẤP LẮM
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 10 2020
đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\y\ge\frac{3}{2}\end{cases}}\)
Xét y = 0 => PT vô nghiệm
Xét y khác 0:
Ta có: \(x^3+y^3-8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+7x^2y+7xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)=8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^3+y^3\right)}{y^3}+\frac{7xy\left(x+y\right)}{y^3}=\frac{8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{y^3}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^3+1+7\cdot\frac{x}{y}\cdot\left(1+\frac{x}{y}\right)=8\cdot\frac{x}{y}\cdot\sqrt{2+2\left(\frac{x}{y}\right)^2}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t>0\) khi đó: \(PT\Leftrightarrow t^3+1+7t\left(1+t\right)=8t\sqrt{2\left(1+t^2\right)}\)
\(=\left[8t\sqrt{2\left(1+t\right)^2}-8t\left(t+1\right)\right]+8t\left(t+1\right)\)
\(\Leftrightarrow t^3-t^2-t+1=8t\cdot\frac{2\left(1+t^2\right)-\left(t+1\right)^2}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow t^2\left(t-1\right)-\left(t-1\right)=8t\cdot\frac{2+2t^2-t^2-2t-1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)=8t\cdot\frac{\left(t-1\right)^2}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left[t+1-\frac{1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\right]=0\)
Mà \(t+1-\frac{1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}=\frac{t\left(\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1\right)+\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}>0\)
\(\Rightarrow t-1=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y\)
Khi đó \(\sqrt{y}-\sqrt{2x-3}+2x=6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-\sqrt{2x-3}=6-2x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2x+3}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\left(3-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-x}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\left(3-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(2-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}\right)=0\)
Nếu \(2-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{\frac{13}{2}-2x}{2}\) (CMT)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}=13-4x\)
\(\Leftrightarrow16x=169-104x+16x^2\)
\(\Leftrightarrow16x^2-120x+169=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=\frac{15+2\sqrt{14}}{4}\\x=y=\frac{15-2\sqrt{14}}{4}\end{cases}}\)
Nếu \(x-3=0\Rightarrow x=y=3\)
Vậy ta có 3 cặp số (x;y) thỏa mãn: ...
18 tháng 10 2020
Thử lại ta thấy cặp nghiệm vô tỉ:
\(x=y=\frac{15\pm2\sqrt{14}}{4}\) không thỏa mãn nên ta chỉ có 1 cặp nghiệm thỏa mãn:
\(x=y=3\)
LS
Lê Song Phương
CTVHS
3 tháng 9 2023
1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)
\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)
\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) (*)
Thật vậy, (*)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:
VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)
Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\).
Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)
Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)
14 tháng 1 2017
coi như giải hệ pt
\(\hept{\begin{cases}y=x+1\left(1\right)\\y^2-3y\sqrt{x}+2x=0\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(y^2-3\sqrt{x}.y+\frac{9x}{4}\right)=\frac{9x}{4}-2x=\frac{x}{2}\\ \)
\(\left(y-\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{3\sqrt{x}}{2}-\frac{\sqrt{x}}{2}=\sqrt{x}\\y=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{\sqrt{x}}{2}=2\sqrt{x}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=x+1\left(3\right)\\2\sqrt{x}=x+1\left(4\right)\end{cases}}\)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}-1\left(vonghiem\right)\\\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\Rightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1\end{cases}}\)
Vậy chỉ có điểm x=1; y=2 thỏa mãn
Ra. Bài này không khó lắm. Chỉ cần khéo chút là được
ĐKXĐ: \(y\ge0;x\ge\frac{3}{2}\)
Phương trình đầu tương đương với\(x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+4xy\left(x+y\right)=8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
<=> \(\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)=8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
ta đánh giá vế trái
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương
=> \(VT\ge2\sqrt{4\left(x+y\right)^4.xy}=4\left(x+y\right)^2\sqrt{xy}\)
\(=4x^2\sqrt{xy}+8xy\sqrt{xy}+4y^2\sqrt{xy}=4\sqrt{xy}\left(x^2+y^2\right)+8xy\sqrt{xy}\)
Lại áp dụng cô-si ta lại có
\(VT\ge2\sqrt{8.4.xy.\sqrt{\left(xy\right)^2.\left(x^2+y^2\right)}}=8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=VP\)
Dấu "=" khi \(\left(x+y\right)^3=4xy\left(x+y\right)\)
và \(4\sqrt{xy}\left(x^2+y^2\right)=8xy\sqrt{xy}\)
chỗ này bạn giải cẩn thận 1 tí được x=y
Với x=y thay vào pt 2 ta được
\(\sqrt{x}-\sqrt{2x-3}+2x=6\)
Nhân liên hợp ta đuọc
<=> \(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2x-3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}+2\left(x-3\right)=0\)
<=>\(\frac{3-x}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}-2\left(3-x\right)=0\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}-2\right)=0\)
<=> x=3 Hoặc \(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\)(1)
Ta thấy vì \(x\ge\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}\le\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}<2\) ==> (1) vô nghiệm
Vậy ta có nghiệm của hệ pt là (x;y)=(3;3)
Được chưa bạn. không hiểu nói cho mình