Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
\(\frac{y+z+1}{x}=\frac{x+y+2}{y}=\frac{x+y-3}{z}=\frac{1}{x+y+z}=\frac{y+z+1+x+y+2+x+y-3+1}{x+y+z+x+y+z}\)
=\(\frac{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+y1+2-3\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+y+1\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)}\)
=>x+y+y+1=x+y+z
=>y+1=z
Vậy đáp số cần tìm là x,y,z khác 0
x tùy ý
y tùy ý
z=y+1
\(x+y+z=a\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2+2\left(xy+yz+zx\right)=a^2\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=\frac{a^2-b^2}{2}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow xyz=\left(xy+yz+zx\right)c=\frac{a^2-b^2}{2}.c\)
\(x^2+y^2+z^2=b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(y+z\right)^2-2yz=b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(a-x\right)^2-2\left[\frac{\left(a^2-b^2\right)c}{2x}\right]=b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+a^2-2ax+x^2-\frac{\left(a^2-b^2\right)c}{x}=b^2\)
\(\Leftrightarrow2x^3-2ax^2+\left(a^2-b^2\right)x-\left(a^2-b^2\right)c=0\)
\(x,y,z\) là nghiệm của phương trình trên.
~~~~~ Không chắc lắm ạ ~~~~~~
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{xz+yz+z^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
Thay vào pt đầu và cuối
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)( Bất đẳng thức Svac-xơ )
Dấu = xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\)
BĐT trên
\(< =>\frac{xy+yz+xz}{xyz}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(< =>\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
Nhân vế với vế : \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)
Nên ta có đpcm
ĐKXĐ: ...
Lấy pt cuối trừ 3 lần pt đầu ta được:
\(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^3+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^3+\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^3=\frac{512}{27}\)
Pt (2) tương đương:
\(x+\frac{1}{x}-2+y+\frac{1}{y}-2+z+\frac{1}{z}-2=\frac{64}{9}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=\frac{64}{9}\)
Đặt \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}};\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}};\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\)
Hệ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\a^2+b^2+c^2=\frac{64}{9}\\a^3+b^3+c^3=\frac{512}{27}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\ab+bc+ca=0\\a^3+b^3+c^3=\frac{512}{27}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{8}{3}.\left(\frac{64}{9}-0\right)=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Rightarrow abc=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\ab+bc+ca=0\\abc=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\frac{8}{3}\right)\) và hoán vị
Hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;9\right)\) và hoán vị
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+y+z}{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2}\\\frac{x+y+z}{y\left(z+x\right)}=\frac{1}{3}\\\frac{x+y+z}{z\left(x+y\right)}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) lần lượt chia vế cho vế ta được hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y\left(z+x\right)}{x\left(y+z\right)}=\frac{3}{2}\\\frac{z\left(x+y\right)}{x\left(y+z\right)}=2\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\yz=2xy+xz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\3yz=6xy+3zx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow yz=5xy\Rightarrow z=5x\)
Thế vào \(yz=2xy+zx\Rightarrow5xy=2xy+5x^2\)
\(\Leftrightarrow3xy=5x^2\Rightarrow y=\frac{5x}{3}\)
Thế vào pt đầu: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{5x}{3}+5x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{23}{20x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{23}{10}\)
\(\Rightarrow y=\frac{23}{6};z=\frac{23}{2}\)
Dạ em cảm ơn ạ.