Những bài toán về hiệp sĩ rất được yêu thích ở Nga. Trong một kỳ thi Olympic của học sinh lớp 9, họ đưa ra đề bài khá thú vị.
30 người ngồi quanh một bàn tròn 30 chiếc ghế đánh số theo thứ tự từ 1 đến 10. Một số trong họ là hiệp sĩ, một số là kẻ lừa dối. Hiệp sĩ luôn nói thật còn kẻ lừa dối nói dối. Mỗi người có đúng một người bạn trong số những người khác. Hơn nữa, bạn của hiệp sĩ là kẻ lừa dối và bạn của kẻ lừa dối là hiệp sĩ. Mỗi người đều được hỏi: "Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh anh không?". 15 người ngồi ở vị trí lẻ trả lời: "Đúng".
Tìm số người ngồi ở vị trí chẵn cũng trả lời: "Đúng".
Tiến sĩ Trần Nam Dũng, giảng viên Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP HCM đã đưa ra lời giải:
Từ đề bài ta suy ra trong 30 người có đúng 15 cặp hiệp sĩ – kẻ lừa dối là bạn của nhau. Ta có thể dễ dàng đoán được đáp số của bài toán bằng cách “giả định” 15 người ở vị trí lẻ đều là hiệp sĩ. Khi đó, dĩ nhiên bạn của họ đều ngồi cạnh ở các vị trí chẵn và đều là kẻ lừa dối, do đó không có ai nói “Đúng”. Đáp số là 0.
Tuy nhiên, đó chỉ là dự đoán đáp số chứ không phải lời giải. Với cách hỏi ở đề bài, ta biết đáp số là 0. Nhưng để khẳng định điều này, ta phải chứng minh chứ không chỉ là đưa ra một ví dụ như vậy.
Nếu chúng ta sa đà vào việc xét vị trí ngồi của 30 người (ai là hiệp sĩ, ai là kẻ nối dối) thì sẽ rất rối vì có nhiều trường hợp xảy ra. Bí quyết của lời giải là ở nhận xét quan trọng sau: Trong 2 người là bạn của nhau, chỉ có đúng 1 người nói “Đúng” cho câu hỏi "Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh anh không?".
Thật vậy, nếu có hai người, 1 hiệp sĩ, 1 kẻ lừa dối là bạn của nhau. Xét 2 trường hợp:
1) Nếu họ ngồi cạnh nhau thì hiệp sĩ sẽ nói đúng, còn kẻ lừa dối nói “Không”.
2) Nếu họ không ngồi cạnh nhau thì hiệp sĩ nói “Không”, còn kẻ lừa dối nói “Đúng”.
Như vậy, vì ta có 15 cặp bạn nên ta có đúng 15 câu trả lời “Đúng”. Vì cả 15 người ở vị trí lẻ đã nói “Đúng” nên tất cả những người ở vị trí chẵn đều nói “Không”. Tức là đáp số bằng 0.
Chú ý rằng ta không biết được trong 15 người ở vị trí lẻ có bao nhiêu người là hiệp sĩ, có bao nhiêu người là kẻ lừa dối và họ xếp ở những vị trí nào.
2 - 0 - 7 -9 hoăc 2 - - - 9
Câu trả lời là
0-1-2-3-4-5-6-7-8-9
a) 2057 1 số đúng, đúng vị trí
b) 4586 0 số đúng
c) 9041 1 số đúng, sai vị trí
d) 7229 2 số đúng, 1 số đúng vị trí và 1 số sai vị trí
e) 3479 1 số đúng, sai vị trí
Xét theo đk đúng sai của các số trong dãy 4 chữ số
Trước tiên, theo b), loại hết 4 số 4,5,8,6
=> Còn 0,1,2,3,7,9
Tiếp theo, theo a) và c), loại tiếp 0, vị nếu 0 đúng, không thể vừa đứng đúng và cả sai vị trí
=> Còn 1,2,3,7,9
Tiếp theo, xét trường hợp
*Nếu 7 đúng (TH1)
=> theo a), số 2 sai
=> theo TH1, a) và d), 9 đúng
Nhưng, theo e) (đk:1 số đúng), 7 và 9 không thể cùng đúng (vô lý)
Nên, 7 sai
=> Còn 1,2,3,9
*Nếu 9 đúng (TH2)
=> theo e), 3 và 7 sai
Nhưng theo TH2 và e) (đk:2 số đúng), 2 đều đúng và sai vì có tận 2 số 2 (vô lý)
Nên 9 sai
=> Còn 1,2,3 và có 2 số 2 trong dãy 4 chữ số
Xét theo vị trí đúng sai của các số trong dãy 4 chữ số
Theo a), vị trí đầu tiên thuộc về số 2 (2xxx)
Theo d), vị trí thứ hai và ba, một trong hai sẽ thuộc về số 2 khác (22xx hoặc 2x2x)
Theo c), 1 không thể đứng cuối, nên vị trí cuối thuộc về số 3 (thỏa mãn yêu cầu của e) là 3 không đứng đầu) (22x3 hoặc 2x23)
Vị trí còn lại thuộc về số 1, 2 số có khả năng là dãy số đề yêu cầu sẽ là 2213 hoặc 2123.
Xin hết!!