Question

[Hoàng MC]

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB.  Vẽ các tuyến Ax,  By ( Ai,  By và nửa đường tròn thuộc mặt phẳng bờ AB)  . Gọi M là  điểm bất kì thuộc nửa đường tròn.  Tiếp tuyến M Cắt Ax , By theo thứ tự ở C,  D

a)  Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB

b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất 

c) Tìm vị trí của C , D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14 cm,  biết AB = 4 cm

Answer 1

[Huy Hoang]

Bài này nhớ hôm trước làm rồi mà không nhớ ở câu nào nữa == , ngại tìm lại nên làm luôn :>

a) Ta có : OC , OD là các tia phân giác của 2 góc kề bù nên \(\widehat{COD}=90^o\) . Gọi I là trung điểm của CD tì :

                                   IC = ID = IO

nên I là tâm và IO là bán kính của đường tròn có đường kính CD

b) 

Chu vi hình thang ABDC bằng :

AB + AC + BD + CD

Ta dễ dàng chứng inh được :

AC + BD = CM + MD = CD

nên chu vi ABDC bằng AB + 2CD

Ta có AB không đổi nên chu vi ABDC nhỏ nhất và bằng 3AB .

c)

Đặt AC = x ; BD = y . Chu vi ABCD bằng :

AB + 2CD = 4 + 2( x + y )

Do chu vi ABDC bằng 14 nên :

4 + 2( x + y ) = 14

hay 

x + y = 5         (1)

Ta lại có :

xy = MC . MD

     = OM² ( hệ thức lượng tam giác vuông COD )

nên  xy = 2² = 4        (2)

Từ (1) , (2) suy ra :

\(x+\frac{4}{x}=5\Leftrightarrow x^2+4=5x\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow x=1;4\)

Vậy , nếu điểm C ( thuộc tia Ax ) cách điểm A là 1 cm hoặc 4 cm thì chu vi hình thang ABDC vẫn bằng 14cm