cho a,b,c là số nguyên dương tm c+\(\frac{1}{b}\)=a+\(\frac{b}{a}\) .chứng minh ab là lập phương của 1 số
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 7 2020
Gọi \(d=gcd\left(a;b\right)\) khi đó \(a=dm;b=dn\) với \(\left(m;n\right)=1\)
Ta có:
\(c+\frac{1}{b}=a+\frac{b}{a}\Leftrightarrow c=\frac{b}{a}+a-\frac{1}{b}=\frac{dn}{dm}+dm-\frac{1}{dn}\)
\(=\frac{n}{m}+dm-\frac{1}{dn}=\frac{dn^2+d^2m^2n-m}{dmn}\)
Khi đó \(dn^2+d^2m^2n-m⋮dmn\Rightarrow m⋮n\) mà \(\left(m;n\right)=1\Rightarrow n=1\Rightarrow m=d\)
Khi đó \(ab=dm\cdot dn=d^3\) là lập phương số nguyên dương
NT
1
13 tháng 7 2020
Mình đã làm 1 cách trong TKHĐ giờ làm cách 2 nhá
\(c+\frac{1}{b}=a+\frac{b}{a}\)
\(\Leftrightarrow c-a=\frac{b}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b^2-a}{ab}\)
Khi đó \(b^2-a⋮ab\Leftrightarrow b^2-a=kab\) với k là số nguyên dương
Khi đó \(b^2=a\left(kb+1\right)\)
Mà \(\left(b;kb+1\right)=1\Rightarrow kb+1=1\Rightarrow kb=0\Rightarrow k=0\)
\(\Rightarrow a=b^2\Rightarrow ab=b^3\left(đpcm\right)\)
LC
16 tháng 6 2015
Vì \(b=\frac{a+c}{2}\)
=>2b=a+c (1)
Do \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{d}{bd}+\frac{b}{bd}\right)=\frac{1}{2}.\frac{b+d}{bd}=\frac{b+d}{2bd}\)
=>\(\frac{1}{c}=\frac{b+d}{bd}\)
=>2bd=(b+d).c=bc+dc (2)
Từ (1) và (2) ta thấy:
2bd=(a+c).d=ad+cd=bc+dc
=>ad=bc
Đẳng thức này chứng tỏ 4 số a,b,c,d lập nên 1 tỉ lệ thức.
=>ĐPCM
