Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc xAC cắt nửa đường tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E. a) Chứng minh tam giác ABE cân. b) Đường thẳng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F . Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1: Vì A,E,M,B cùng nằm trên (O)
nên AEMB nội tiếp
góc AMB=1/2*180=90 độ
=>AM vuông góc IB
ΔIAB vuông tại A có AM vuông góc IB
nên IA^2=IM*IB
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a:góc ABD=góc DCA
góc ABD=góc FAD(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
góc FAD=góc CAD
=>góc ABD=góc CBD
=>BD là phân giác của góc ABE
mà góc ADB=90 độ
nên BD là đường cao
=>ΔBAE cân tại B
b: Xét ΔEAB có
AC,BD là các đường cao
AC cắt BD tại K
Do đó: K là trực tâm
=>EK vuông góc với BA
c: Xét ΔAKF có AD vừa là đường cao, vừa là phân giác
nên ΔAKF cân tại A
=>góc AKF=góc AFK=góc KFE
=>AK//FE
Xét tứ giác AKEF có
AK//FE
AF//KE
KE=KA
Do đó: AKEF là hình thoi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a:góc ABD=góc DCA
góc ABD=góc FAD(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
góc FAD=góc CAD
=>góc ABD=góc CBD
=>BD là phân giác của góc ABE
mà góc ADB=90 độ
nên BD là đường cao
=>ΔBAE cân tại B
b: Xét ΔEAB có
AC,BD là các đường cao
AC cắt BD tại K
Do đó: K là trực tâm
=>EK vuông góc với BA
c: Xét ΔAKF có AD vừa là đường cao, vừa là phân giác
nên ΔAKF cân tại A
=>góc AKF=góc AFK=góc KFE
=>AK//FE
Xét tứ giác AKEF có
AK//FE
AF//KE
KE=KA
Do đó: AKEF là hình thoi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a:góc ABD=góc DCA
góc ABD=góc FAD(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
góc FAD=góc CAD
=>góc ABD=góc CBD
=>BD là phân giác của góc ABE
mà góc ADB=90 độ
nên BD là đường cao
=>ΔBAE cân tại B
b: Xét ΔEAB có
AC,BD là các đường cao
AC cắt BD tại K
Do đó: K là trực tâm
=>EK vuông góc với BA
c: Xét ΔAKF có AD vừa là đường cao, vừa là phân giác
nên ΔAKF cân tại A
=>góc AKF=góc AFK=góc KFE
=>AK//FE
Xét tứ giác AKEF có
AK//FE
AF//KE
KE=KA
Do đó: AKEF là hình thoi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a:góc ABD=góc DCA
góc ABD=góc FAD(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
góc FAD=góc CAD
=>góc ABD=góc CBD
=>BD là phân giác của góc ABE
mà góc ADB=90 độ
nên BD là đường cao
=>ΔBAE cân tại B
b: Xét ΔEAB có
AC,BD là các đường cao
AC cắt BD tại K
Do đó: K là trực tâm
=>EK vuông góc với BA
c: Xét ΔAKF có AD vừa là đường cao, vừa là phân giác
nên ΔAKF cân tại A
=>góc AKF=góc AFK=góc KFE
=>AK//FE
Xét tứ giác AKEF có
AK//FE
AF//KE
KE=KA
Do đó: AKEF là hình thoi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\widehat{IAF}=\widehat{CAF}\)
\(\widehat{CFA}+\widehat{CAF}=90^0\)
\(\widehat{BAF}+\widehat{IAF}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{CFA}=\widehat{BAF}\)
c.
O là trung điểm AB, G là trung điểm AI \(\Leftrightarrow\) OG là đường trung bình ABI
\(\Rightarrow OG//BI\Rightarrow OG\perp AC\)
Mà \(OA=OC\Rightarrow OG\) là trung trực AC
\(\Rightarrow AG=CG\Rightarrow CG\) là tiếp tuyến
Hình vẽ:
![Tứ giác nội tiếp](https://i.imgur.com/r8mlPmY.png)
Lời giải:
a)
Dễ thấy $\widehat{ACB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow AC\perp EB$
$\Rightarrow \widehat{E}=90^0-\widehat{EAC}$
$=90^0-\widehat{xAE}$ (do $AE$ là tia phân giác $\widehat{xAC}$)
$=\widehat{EAB}$ (do $Ax\perp AB$ theo tính chất tiếp tuyến)
Do đó tam giác $ABE$ cân tại $B$
b)
Ta thấy: $\widehat{BAE}=\widehat{BAD}=\widehat{AFB}(=90^0-\widehat{FAD})$
Mà theo phần a ta đã chỉ ra $\widehat{AEB}=\widehat{BAE}$
$\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AFB}$
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $AB$ nên tứ giác $AFEB$ nội tiếp (đpcm)