Question

[zZz Cool Kid_new zZz]

Bài hay lụm trên fb mọi người cùng thảo luận:

Với \(m>n\) và m,n là các số nguyên lẻ;\(\frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}\) là số nguyên thì \(m^2-n^2+1\) là số chính phương

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

nếu m=n thì ta có đpcm

xét m khác n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x,y\in Z,x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có \(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x-y=n\end{cases}}\)do đó m,n>0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow x>\left|y\right|}\)

do \(n^2-1⋮\left|m^2-n+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2⋮m^2-n^2+1\)

\(\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)

thay m=x+y; n=x-y ta có \(\left(x+y\right)^2=k\left(4xy+1\right)\Leftrightarrow x^2-2\left(2k-1\right)xy+y^2-k=0\)(*)

phương trình (*) có 1 nghiệm của x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x₁ theo hệ thức Vi-et ta có

\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}}\Rightarrow x_1\inℤ\)

nếu x₁>0 thì (x₁;y) là một cặp nghiệm thỏa mãn (*) 

=> \(x_1>\left|y\right|\Rightarrow y^2-k=xx_1>\left|y\right|^2=y^2\Rightarrow k< 0\Rightarrow x_1+x=2\left(2k-1\right)< 0\)mâu thuẫn

nếu x₁<0 thì \(xx_1=y^2-k< 0\Rightarrow k>y^2\Rightarrow k>0\Rightarrow4xy+1>0\Rightarrow y>0\)ta có

\(k=x_1^2-2\left(2k-1\right)x_1y+y^2=x_1^2+2\left(2k-1\right)\left|x_1\right|y\ge2\left(2k-1\right)>k\)mâu thuẫn

vậy x₁=0 khi đó k=y² và \(m^2-n^2+1=\frac{m^2}{k}=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên m²-n²+1 là số chính phương

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Tham khảo lời giải của anh Nguyễn Nhất Huy