K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 6 2020

Ta có: \(a^2-ab+3b^2+1=\left(a^2-2ab+b^2\right)+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\)

\(=\left(a-b\right)^2+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\ge ab+2b+b^2\)

\(=b\left(a+b+2\right)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}\)(1)

Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3) và sử dụng AM - GM kết hợp liên tục BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta được:

\(P\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)

\(=\Sigma\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)\(\le\Sigma\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\right)\)(AM - GM)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{​​}\Sigma\left(\frac{1}{a+b+2}\right)\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{​​}\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\right]\)

\(\le\frac{3}{4}+\text{​​}\left[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\text{​​}\Sigma\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)

\(=\frac{3}{4}+\text{​​}\left[\frac{3}{8}+\text{​​}\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]\le\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

3 tháng 6 2020

Dòng thứ 10 sửa lại cho mình là \(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\right]\)

Do olm có lỗi là mỗi lần bấm dấu ngoặc là số nó tự động nhảy ra ngoài

12 tháng 4 2018

\(Ta có: \(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2\left(b+c\right)}\) Theo Cauchy: \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) => \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1} {4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\) => \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{b+c}\right)\) Tương tự: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+c}\right)\) Và: \(\frac{1}{3a+3b+2c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\) => \(P\le\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)=\frac{1}{4}.2017\) => Pmax  = 2017:4=504,25\)

11 tháng 4 2018

Ta có: \(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2\left(b+c\right)}\)

Theo Cauchy: \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

=> \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\)

=> \(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{b+c}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+c}\right)\)

Và: \(\frac{1}{3a+3b+2c}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\)

=> \(P\le\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)=\frac{1}{4}.2017\)

=> Pmax = 2017:4=504,25

28 tháng 3 2020

Dự đoán: Min P = -1 khi a = b  = c = 1

GIải:

Đặt \(p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc\) thì r = 1. 

Cần chứng minh: \(p-2\sqrt{1+q}\ge-1\Leftrightarrow p+1\ge2\sqrt{1+q}\)

\(\Leftrightarrow p^2+2p+1\ge4\left(1+q\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(p^2-4q\right)+\left(2p-3\right)\ge0\). Theo Schur:

 \(p^3+9r\ge4pq\Leftrightarrow p\left(p^2-4q\right)\ge-9r=-9\)

\(\Rightarrow p^2-4q\ge-\frac{9}{p}\). Do đó cần chứng minh:

\(-\frac{9}{p}+2p-3\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(p-3\right)\left(2p+3\right)}{p}\ge0\)

Đúng vì: \(p=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

4 tháng 6 2017
  1. có : \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2=1\\\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2ab+b^2=1\\a^2-2ab+b^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}}\)   nên : \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{2}+\frac{4}{a+b}=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}\)\(P_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
4 tháng 6 2017

Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Lại có BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\left(a+b=1\right)\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên có:

\(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT^2=\left(x-1\right)+\left(3-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(\le2+\left(x-1\right)+\left(3-x\right)=4\)

\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\). Lại có:

\(VP=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)

Từ (1);(2) xảy ra khi 

\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2+2=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\) (thỏa)

Vậy x=2 là nghiệm của pt