Question

[Trần Quốc Khanh]

Tìm ra chỗ sai

Đề: Tìm MIN \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)(*)

C1: Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\)

Có (*)=\(t^2-2-3t=t^2-3t+\frac{9}{4}-\frac{17}{4}=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{17}{4}\ge-\frac{17}{4}\)

Vậy MIN =-17/4 với \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-\frac{3}{2}\)

C2: Áp dụng bổ đề \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) có

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+9-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-9\)\(\ge1+3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-9=-8\)

Dấu bằng xảy ra khi x/y=y/x=3

C3: https://hoc247.net/hoi-dap/toan-9/chung-minh-bat-dang-thuc-x-2-y-2-y-2-x-2-4-3-x-y-y-x-faq337296.html

1 bài co 3 cách vậy cách nào đúng, sai?

@tth_new

w

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Cách 3 chưa đọc, nhưng cả cách 1 lẫn cách 2 đều sai. Sai lầm là ko chú ý điều kiện \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)

\(P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=t^2-3t-2\)

- Nếu \(t\le-2\Rightarrow P=\left(t+2\right)\left(t-5\right)+8\ge8\)

- Nếu \(t\ge2\Rightarrow P=\left(t-2\right)\left(t-1\right)-4\ge-4\)

So sánh 2 trường hợp ta kết luận được \(P_{min}=-4\) khi \(t=2\) hay \(x=y\)