Cho các số a,b>0 thỏa mãn a+b=1. Chứng minh: \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 2 2021
Đặt A = \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)
A = \(\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)(Vì a + b = 1)
A = \(\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)
A = \(4+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}+1\)
A = \(5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Vì a, b dương nên áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương, ta được :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ba}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.1=2\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge4+5\)
\(\Leftrightarrow A\ge9\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b > 0
Vậy \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)với a, b là các số dương và a + b = 1
27 tháng 2 2021
Tớ quên. Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b>0\\a+b=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
DL
12 tháng 4 2019
Ta có \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\) (1)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\)
\(\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) (vì ab > 0)
\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\Leftrightarrow2\ge8ab\) (vì a + b = 1)
\(\Leftrightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (vì a + b = 1)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương, vậy bất đẳng thức (1) được chưng minh.
7 tháng 2 2020
1+1/a= 1+ (a+b)/a = 2+b/a
tương tự: 1+1/b= 2+a/b
nhân 2 đa thức với nhau đc : 5+2a/b+2b/a=5+2(a/b+b/a)
áp dụng bđt cô si a/b+b/a >=2 =) 5+2(a/b+b/a)>=9 (dấu = xảy ra khi a-b=1/2)
TT
Cho a,b>0 thoả mãn a+b=1
Chứng minh rằng \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)
0
15 tháng 11 2017
ta có: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}.\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}\) (vì abc=1) (*)
Mặt khác: \(\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2\ge64abc=64=4^3\) (vì abc=1)
=> \(\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}\ge4\) (**)
Từ (*), (**)=> đpcm
PG
12 tháng 2 2020
Bạn dưới kia làm ngược dấu thì phải,mà bài này hình như là mũ 3
\(\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS+\frac{2\left(a+b+c\right)+6}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow RHS\ge\frac{3}{4}\) tại a=b=c=1
20 tháng 6 2020
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge1\)
<=> \(\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2+\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2+\left(1+a\right)\left(1+c\right)^2\)
\(+2\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge3\)đúng vì \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
KN
30 tháng 7 2020
1. Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engle, ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
KN
30 tháng 7 2020
\(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
Vì a, b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\Leftrightarrow a+b\le3\)
\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+2b+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)
14 tháng 6 2017
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a+1}{a}\right)\left(\frac{b+1}{b}\right)\left(\frac{c+1}{c}\right)\ge64\)(*)
Mà \(\frac{a+1}{a}=\frac{\left(a+a\right)+\left(b+c\right)}{a}\ge\frac{2a+2\sqrt{bc}}{a}\ge\frac{2\sqrt{2a.2\sqrt{bc}}}{a}=\frac{4\sqrt{a\sqrt{bc}}}{a}\) (1)
Tương tự \(\frac{b+1}{b}\ge\frac{4\sqrt{b\sqrt{ac}}}{b}\) (2) ; \(\frac{c+1}{c}\ge\frac{4\sqrt{c\sqrt{ab}}}{c}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) nhân vế theo vế ta được (*) \(\ge\frac{4\sqrt{a\sqrt{bc}}.4\sqrt{b\sqrt{ac}}.4\sqrt{c\sqrt{ab}}}{abc}=\frac{64abc}{abc}=64\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\1+\frac{1}{a}=1+\frac{1}{b}=1+\frac{1}{c}=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}}\)
