Cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=1. CMR \(\sqrt[3]{3a+1}+\sqrt[3]{3b+1}+\sqrt[3]{3c+1}\le3\sqrt[3]{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
cái này dễ thôi, Áp dụng bđt cô si ta có
\(\sqrt[3]{a+3b}\le\frac{a+3b+1+1}{3}\)
tương tự và + vào ta có \(A\le\frac{4\left(a+b+c\right)+6}{3}=3\) (đpcm)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/4
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Dự đoán điểm rơi \(a=b=c=4\) .
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+4\ge4\sqrt{a}\\b+4\ge4\sqrt{b}\\c+4\ge4\sqrt{c}\end{matrix}\right.\Rightarrow2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}\le\dfrac{a+b+c+12}{2}\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
\(\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1}\le\sqrt{3.\left[3\left(a+b+c\right)+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\right]}=\sqrt{3.\left(3.12+12+3\right)}=3\sqrt{17}\)
Vậy BĐT đã được chứng minh !
Hơi khoai :))))))
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT cosi, ta có
\(\sqrt{3a+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{4+3a+1}{2}=\dfrac{3a+5}{4}\)
CMTT, ta có \(\sqrt{3b+1}\le\dfrac{3b+5}{4};\sqrt{3c+1}\le\dfrac{3c+5}{4}\)
Từ đó suy ra \(K\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+15}{4}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Vậy...
ta có BĐT \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{a\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
\(\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0đúng\forall a\)
CMRTT, ta có
\(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{b\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
\(\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{c\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
Do đó \(K\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+3=\sqrt{10}+2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=3, b=c=0
Vậy...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo bđt Mincopxki:
\(VT\ge\sqrt{3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2}\ge\sqrt{3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2+\left[\frac{9}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\right]^2}\)
Sử dụng bđt AM-GM ta cm được:\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le3\)
bđt cần cm\(\Leftrightarrow3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2+\frac{81}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\ge36\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2+\frac{27}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\ge12\)
Đặt \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=x\rightarrow0< x\le9\)
Ta cần CM: \(x+\frac{27}{x}\ge12\)
\(VT\ge x+\frac{81}{x}-\frac{54}{x}\ge2\sqrt{81}-\frac{54}{9}=12\left(đpcm\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(3\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt[3]{3a+bc}}\le\dfrac{a}{\sqrt[3]{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{\dfrac{a}{a+b}.\dfrac{a}{a+c}.\dfrac{a}{2}}\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Cộng vế và rút gọn:
\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(3+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)
ta có \(\sqrt[3]{3a+1}=\frac{\sqrt[3]{\left(3a+1\right)2.2}}{\sqrt[3]{4}}\le\frac{3a+1+2+2}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{3a+5}{3\sqrt[3]{4}}\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{3b+1}\le\frac{3b+5}{3\sqrt[3]{4}}\\\sqrt[3]{3c+1}\le\frac{3c+5}{3\sqrt[3]{4}}\end{cases}}\)
\(=>P\le\frac{3\left(a+b+c\right)+15}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{6}{\sqrt[3]{4}}=3\sqrt[3]{2}\)