Cho a+b+c+d=1. Chứng minh: \(\left(a+c\right)\left(b+d\right)+2\left(ca+bd\right)\le\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
1
HV
26 tháng 8 2021
\(\left(a+c\right)\left(b+d\right)+2\left(ac+bd\right)\le\left(a+c\right)\left(b+d\right)+2\left(\dfrac{\left(a+c\right)^2}{4}+\dfrac{\left(b+d\right)^2}{4}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(\left(a+c\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)+\left(b+d\right)^2\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(a+c+b+d\right)^2=\dfrac{1}{2}\)
TM
17 tháng 3 2017
B1: https://olm.vn/hoi-dap/question/133327.html
B2: áp dụng bđt Bu-nhi-a-cop-xki với 2 bộ số (a;b) và (c;d) ra luôn
22 tháng 8 2017
Ta có:
\(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(a+2b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(a+b+2c\right)^2}\)
\(\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{1}{4\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{1}{4\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{a+b+c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Giờ ta cần chứng minh
\(\frac{a+b+c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{9}{16\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta có:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Vậy ta có ĐPCM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 8 2020
\(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{abc+b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{abc+c^2\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{b\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{c\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
25 tháng 1 2020
Đặt: \(\hept{\begin{cases}\frac{1-a}{1+a}=x\\\frac{1-b}{1+b}=y\\\frac{1-c}{1+c}=z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow-1< x,y,z< 1\)và \(\hept{\begin{cases}\frac{1-x}{1+x}=a\\\frac{1-y}{1+y}=b\\\frac{1-z}{1+z}=c\end{cases}}\)
Theo đề bài ta có: \(abc=1\Rightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z+xyz=0\)
Mặt khác ta có: \(\frac{4a}{\left(a+1\right)^2}=1-x^2;\frac{2}{a+1}=1+x\)
Và: \(\frac{4b}{\left(b+1\right)^2}=1-y^2;\frac{2}{b+1}=1+y\)
Và: \(\frac{4c}{\left(c+1\right)^2}=1-z^2;\frac{2}{c+1}=1+z\)
Nên: \(\frac{4a}{\left(a+1\right)^2}+\frac{4b}{\left(b+1\right)^2}+\frac{4c}{\left(c+1\right)^2}\le1+2.\frac{2}{a+1}.\frac{2}{b+1}.\frac{2}{c+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z+xyz\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
Đây là BĐT luôn đúng nên ta có đpcm.
T
26 tháng 1 2020
ミ★ᗪเệų ℌųуềй (ßăйǥ ßăйǥ ²к⁶)★彡 Giải ghê quá, t chẳng hiểu gì.
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\)
BĐT \(\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} \frac{xy}{(x+y)^2} \leq \frac{1}{4}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
Ta có: \(VP-VT=\frac{4\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2}{4\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2}\ge0\)
BĐT hiển nhiên đúng.
KN
1 tháng 8 2020
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
27 tháng 7 2020
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
