Question

[Eng Ther]

1,Cho biểu thức P =\(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)\)

a, Rút gọn P

b,Tìm a để P< 7-4\(\sqrt{3}\)

2,Cho biểu thức A=\(\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{a-\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\) với a>0 và a\(\ne\)1

a, Rút gọn biểu thức A

b,So sánh giá trị của A với 1

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

ĐK: $a\geq 0; a\neq 1$

a)

\(P=\left[\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right]\left[\frac{(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}+a)}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right]\)

\(=(1+\sqrt{a}+a+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}+a-\sqrt{a})=(a+2\sqrt{a}+1)(a-2\sqrt{a}+1)\)

\(=(\sqrt{a}+1)^2(\sqrt{a}-1)^2=(a-1)^2\)

b) \(P< 7-4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow (a-1)^2< (2-\sqrt{3})^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3}-2< a-1< 2-\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3}-1< a< 3-\sqrt{3}\)

Vậy $\sqrt{3}-1< a< 3-\sqrt{3}$ và $a\neq 1$

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

a)

\(A=\frac{2}{a-\sqrt{a}}.\frac{a-2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}=\frac{2(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}=\frac{2(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}\)

b)

Xét hiệu \(A-1=\frac{2\sqrt{a}-2-a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}=-\frac{a-\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}\)

Thấy rằng: \(a-\sqrt{a}+2=(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}>0; \sqrt{a}(\sqrt{a}+1)>0 \) với mọi $a>0; a\neq 1$ nên:

\(A-1=-\frac{a-\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}<0\Rightarrow A< 1\)