K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 3 2020

M A C D O B N P Q E

Dễ thấy \(\Delta MCB~\Delta MDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MC}{MD}=\frac{BC}{CD}\)( 1 )

\(\Delta MAB~\Delta MDA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MA}{MD}=\frac{AB}{AD}\)( 2 )

Lại có MA = MC . Từ ( 1 )  và ( 2 ) suy ra \(\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AD.BC=AB.CD\)

Áp dụng định lí Ploleme với tứ giác ABCD, ta có :

\(AB.CD+AD.BC=AC.BD\)

\(\Rightarrow BC.AD=AC.BD-AB.CD=\frac{1}{2}AC.BD\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{AD}=\frac{2BC}{BD}\)( 3 )

\(\Delta NBE~\Delta NDB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NB}{ND}=\frac{BE}{DB}\)\(\Delta NCE~\Delta NDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NC}{ND}=\frac{CE}{CD}\)

lại có :  NB = NC \(\Rightarrow\frac{BE}{BD}=\frac{CE}{CD}\Rightarrow BE.CD=CE.BD\)

Áp dụng định lí Ptoleme với tứ giác BECD, ta có : 

\(BE.CD+CE.BD=BC.DE\Rightarrow BE.CD=CE.BD=\frac{1}{2}BC.DE\)

\(\Delta PBC~\Delta PDB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{PC}{PB}=\frac{PB}{PD}\Rightarrow PC.PD=PB^2\)

Mà \(\frac{PC}{PB}=\frac{PB}{PD}=\frac{BC}{BD}\)

Mặt khác : \(\frac{PC}{PD}=\frac{PC.PD}{PD^2}=\left(\frac{PB}{PD}\right)^2=\left(\frac{BC}{BD}\right)^2\)( 4 )

suy ra : \(\frac{PC}{PD}=\left(\frac{BC}{BD}\right)^2=\left(\frac{2CE}{DE}\right)^2\)

giả sử AE cắt CD tại Q

\(\Rightarrow\Delta QEC~\Delta QDA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{QC}{QD}=\left(\frac{2CE}{DE}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{QC}{QD}=\frac{PC}{PD}\Rightarrow P\equiv Q\)

Vậy 3 điểm A,E,P thẳng hàng

20 tháng 3 2020

v mình quên nối AE cắt CD. hay là nối 3 điểm A,E,P mà thôi, không sao.

3: góc MHO=góc MAO=góc MBO=90 độ

=>M,A,O,H,B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM

=>góc HAB=góc HMB

CE//MB

=>góc HCE=góc HMB=góc HAB

=>ACEH nội tiếp

=>góc CHE=góc CAE

mà góc CAE=góc CDB

nên gó CHE=góc CDB

=>HE//DB

Gọi K là giao của CE và DB

Xét ΔCKD có 

H là trung điểm của CD

HE//KD

=>E là trung điểm của CK

=>EC=EK

Vì CK//MB

nên CE/MF=DE/DF=EK/FB

mà CE=EK

nên MF=FB

=>F là trung điểm của MB

a) Xét tứ giác OAMC có 

\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OCM}\) là hai góc đối

\(\widehat{OAM}+\widehat{OCM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: OAMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a: góc OAM+góc OCM=180 độ

=>OAMC nội tiếp

b: CE//BD

=>góc AKM=góc AEC=góc ACM

=>AKCM nội tiếp

=>A,K,C,M cùng nằm trên 1 đường tròn

=>góc OKM=90 độ

=>K là trung điểm của BD

 

 

a: Xét ΔOAM vuông tại A có cosAOM=OA/OM=1/2

nên góc AOM=60 độ

=>góc AOB=60 độ

=>sđ cung AB=60 độ

b: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

nên MA=MC

mà OA=OC

nên OM là trung trực của AC

=>OM vuông góc với AC

c: Xét ΔOAB có OA=OB và góc AOB=60 độ

nên ΔOAB đều

mà AH là đườg cao

nên H là trung điểm của OB

=>HO=HB

Vì MO là trung trực của AC

nên MO vuông góc AC tại H và H là trung điểm của AC

HA*HC=HA^2

HO*HM=HA^2

=>HA*HC=HO*HM

=>HA*HC=HB*HM

d: Xét ΔOBC có OB=OC và góc BOC=60 độ

nên ΔBCO đều

=>OB=OC=BC=OA=AB

=>OA=AB=BC=OC

=>OABC là hình thoi

31 tháng 12 2023

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó; MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

b: Ta có: ΔONC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)NC tại I

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\)

Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có

\(\widehat{IOM}\) chung

Do đó: ΔOIM đồng dạng với ΔOHK

=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OK}\)

=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OM=R^2\)

=>\(OI\cdot OK=OC\cdot OC\)

=>\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)

Xét ΔOIC và ΔOCK có

\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)

\(\widehat{IOC}\) chung

Do đó: ΔOIC đồng dạng với ΔOCK

=>\(\widehat{OIC}=\widehat{OCK}\)

=>\(\widehat{OCK}=90^0\)

=>KC là tiếp tuyến của (O)

31 tháng 12 2023

thank bro

a: Xét tứ giác MBOC có \(\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=90^0+90^0=180^0\)

nên MBOC là tứ giác nội tiếp

=>M,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD tại C

Ta có: BC\(\perp\)CD

BC\(\perp\)OM

Do đó: CD//OM

c: Xét (O) có

ΔBHD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBHD vuông tại H

=>BH\(\perp\)HD tại H

=>BH\(\perp\)DM tại H

Xét ΔBDM vuông tại B có BH là đường cao

nên \(MH\cdot MD=MB^2\left(3\right)\)

Xét ΔMBO vuông tại B có BI là đường cao

nên \(MI\cdot MO=MB^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(MH\cdot MD=MI\cdot MO\)

=>\(\dfrac{MH}{MO}=\dfrac{MI}{MD}\)

Xét ΔMHI và ΔMOD có

\(\dfrac{MH}{MO}=\dfrac{MI}{MD}\)

góc HMI chung

Do đó: ΔMHI đồng dạng với ΔMOD

=>\(\widehat{MIH}=\widehat{MDO}=\widehat{ODH}\)

mà \(\widehat{ODH}=\widehat{OHD}\)(ΔOHD cân tại O)

nên \(\widehat{MIH}=\widehat{OHD}\)