Question

[Trần Đại Nghĩa]

Có bao nhiêu số nguyên dương có 3 chữ số có thể viết dưới dạng tổng của 9 số hạng khác nhau có dạng \(2^x\left(x\inℕ\right)\)?

Answer 1

[Lê Hoàng]

Gọi \(a\) là số nguyên dương có 3 chữ số \(\left(a\in N,100\le a\le999\right)\)

Ta có: \(512\left(2^9\right)\) là số hạng lớn nhất của \(a\)

\(\Rightarrow x\le9\), mà \(x\in N\) \(\Rightarrow x\in\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}\)

Cộng tất cả các số hạng khác nhau có dạng \(2^x\) với \(x\) thoả mãn điều kiện trên, ta có:

\(a=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9=2^{10}-1=1024-1=1023\)

Ta thấy \(a=1023\) được viết dưới dạng tổng của 10 số hạng khác nhau có dạng \(2^x\).

Nhưng \(a\) phải viết dưới dạng tổng của 9 số hạng khác nhau có dạng \(2^x\) (chứ không phải 10), và \(a\) là số có 3 chữ số (\(1023\) không phải là số có 3 chữ số).

Nên ta phải bỏ đi một trong các số hạng của nó và sao cho \(100\le a\le999\).

Điều kiện của số hạng cần phải bỏ đi là: \(1023-2^x\le999\)

\(\Leftrightarrow-2^x\le999-1023=-24\) \(\Leftrightarrow2^x\ge24\)

Từ đó, \(x\in\left\{5;6;7;8;9\right\}\) thoả mãn điều kiện trên, ta phải bỏ đi một trong các số hạng \(2^5;2^6;2^7;2^8;2^9\) để \(a\) thoả mãn điều kiện trên:

- Bỏ số hạng \(2^5\) đi, ta có: \(a=1023-2^5=1023-32=991\) (tmđk)

- Bỏ số hạng \(2^6\) đi, ta có: \(a=1023-2^6=1023-64=959\) (tmđk)

- Bỏ số hạng \(2^7\) đi, ta có: \(a=1023-2^7=1023-128=895\) (tmđk)

- Bỏ số hạng \(2^8\) đi, ta có: \(a=1023-2^8=1023-256=767\) (tmđk)

- Bỏ số hạng \(2^9\) đi, ta có: \(a=1023-2^9=1023-512=511\) (tmđk)

Vậy có 5 số nguyên dương có 3 chữ số có thể viết dưới dạng tổng của 9 số hạng khác nhau có dạng \(2^x\left(x\in N\right)\) là \(511;767;895;959;991\).