Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD,BE, CF cắt nhau tại H (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB).
a)Chứng minh: HD/AD+HE/BE+HF/CF=1
b) Tính HA/AD+HB/BE+HC/CF
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,Ta có \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HD.BC}{\frac{1}{2}AD.BC}=\frac{HD}{AD}\)
tương tự \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HE}{BE};\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HF}{CF}\)
\(\Rightarrow\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(ĐPCM\right)\)
b, bổ sung đề rồi mình làm tiếp cho ạ
Câu b) em có cách này cô ạ, cô check giùm em xem có đúng không ạ :
Ta có : \(\frac{HA}{AD}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABD}+S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABC}}\)
( Tính chất dãy tỉ số bằng nhau )
Tương tự ta có :
\(\frac{HB}{BE}=\frac{S_{AHB}+S_{BHC}}{S_{ABC}}\), \(\frac{HC}{CF}=\frac{S_{AHC}+S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
Khi đó : \(\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=\frac{2\left(S_{ABH}+S_{AHC}+S_{BHC}\right)}{S_{ABC}}=\frac{2S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\)
Vậy : \(\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=2\)
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
góc BDH+góc BFH=180 độ
=>BDHF nội tiếp
b; góc ACK=1/2*sđ cung AK=90 độ
Xét ΔACK vuông tại C và ΔADB vuông tại D có
góc AKC=góc ABD
=>ΔACK đồng dạng với ΔADB
=>AC/AD=AK/AB
=>AC*AB=AD*AK
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
góc EAB chung
=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC
=>AE/AF=AB/AC
=>AE/AB=AF/AC
Xét ΔAEF và ΔABC có
AE/AB=AF/AC
góc FAE chung
Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC
=>góc AEF=góc ABC
b: Kẻ HM//AB(M thuộc AC)
HN//AC(N thuộc AB)
Xét tứ giác AMHN có
AM//HN
AN//HM
Do đó: AMHN là hình bình hành
=>AM=HN; AN=HM
ΔAHM có AH<AM+MH
=>AH<AM+AN
HN//AC
mà BH vuông góc AC
nên HB vuông góc HN
ΔHBN vuông tại H
=>HB<BN
HM//AB
CH vuông góc AB
Do đó: HC vuông góc HM
=>ΔHCM vuông tại H
=>HC<MC
AH<AM+AN
HB<BN
HC<MC
=>HA+HB+HC<AM+AN+BN+MC=AC+AB
Chứng minh tương tự, ta được:
HA+HB+HC<AB+BC và HA+HB+HC<AC+BC
=>3*(HA+HB+HC)<2(BA+BC+AC)
=>HA+HB+HC<2/3*(BA+BC+AC)
Đây là 1 trường hợp của BĐT hình học quan trọng: BĐT Erdos-Mordell
Cách chứng minh bài này y hệt như cách người ta chứng minh BĐT nói trên.
Có khoảng gần 20 cách gì đó, em kiếm trên google thử coi, vì BĐT này quá quen thuộc rồi nên mình sẽ ko chứng minh lại ở đây.
a)
Nguồn: Lazi.