Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z=\frac{3}{4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{1}{\sqrt[3]{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y+3z}}+\frac{1}{\sqrt[3]{z+3x}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2021
Bạn cần viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn
TN
11 tháng 2 2017
Câu hỏi của phan tuấn anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath cái này y hệt, tham khảo đi nếu vẫn chưa làm dc thì nhắn cho mk
ND
3 tháng 6 2019
Có \(\sqrt{\frac{x}{\sqrt[]{3x+yz}}}=\sqrt[]{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}}\)
Làm tương tự với 2 cái còn lại
Ta sẽ dùng bđt cô si mở rộng: (a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)
Đặt A là biểu thức để bài cho
Có A^2<=\(3\left(\frac{x}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt[]{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\frac{z}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\right)\)
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}< =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)
nên \(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}< =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
làm tương tự với 2 ngoặc còn lại ta sẽ thấy A^2<=\(\frac{9}{2}\)
hay A<=\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Chúc bạn học tốt!
7 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}=3xy\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{3xy}\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}\)
Tương tự:\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3yz}}{yz};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3zx}}{zx}\)
Công vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:
\(P\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}+\frac{\sqrt{3yz}}{yz}+\frac{\sqrt{3zx}}{zx}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\) \(=\sqrt{3}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge3\sqrt{3}\)
Dấu '='xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy \(P_{min}=3\sqrt{3}\)khi \(x=y=z=1\)
:))
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 1 2021
Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24
MT
2 tháng 1 2021
mình cảm ơn bạn nhiều ạ <3 bạn có thể giúp mình mấy câu mình vừa đăng không
16 tháng 6 2019
Ta có \(\left(2x^2+y^2+3\right)\left(2+1+3\right)\ge\left(2x+y+3\right)^2\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{2x+y+3}\)
Mà \(\frac{1}{2x+y+3}=\frac{1}{x+x+y+1+1+1}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+9\right)=\frac{\sqrt{6}}{36}.18=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6}}{2}\)khi x=y=z=1
13 tháng 7 2016
Đặt \(a=\sqrt{2x-3}\) ; \(b=\sqrt{y-2}\) ; \(c=\sqrt{3z-1}\) (\(a,b,c>0\))
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}+a+b+c=14\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-3}+\frac{1}{\sqrt{2x-3}}-2\right)+\left(\sqrt{y-2}+\frac{4}{\sqrt{y-2}}-4\right)+\left(\sqrt{3z-1}+\frac{16}{\sqrt{3z-1}}-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{\left(2x-3\right)-2\sqrt{2x-3}+1}{\sqrt{2x-3}}\right]+\left[\frac{\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4}{\sqrt{y-2}}\right]+\left[\frac{\left(3z-1\right)-8\sqrt{3z-1}+16}{\sqrt{3z-1}}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2}{\sqrt{2x-3}}+\frac{\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2}{\sqrt{y-2}}+\frac{\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2}{\sqrt{3z-1}}=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=\frac{17}{3}\end{cases}}}\)(TMĐK)
Vậy : \(\left(x;y;z\right)=\left(2;6;\frac{17}{3}\right)\)
HF
13 tháng 10 2019
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
HF
13 tháng 10 2019
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
\(\frac{1}{\sqrt[3]{x+3y}}\ge\frac{1}{\frac{x+3y+1+1}{3}}=\frac{3}{x+3y+2}\\ \text{Tương tự }\Rightarrow P\ge\frac{3}{x+3y+2}+\frac{3}{y+3z+2}+\frac{3}{z+3x+2}\\ \ge3\cdot\frac{9}{x+3y+2+y+3z+2+z+3x+2}\\ =3\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)(với a,b,c > 0 )
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\Leftrightarrow abc\le\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\).
AD CT trên ta có :
\(1.1.\sqrt[3]{x+3y}\le\frac{1+1+x+3y}{3}\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+3y}\le\frac{x+3y+2}{3}\).
Cmtt có : \(\sqrt[3]{y+3z}\le\frac{y+3z+2}{3};\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{z+3x+2}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{4\left(x+y+z\right)+6}{3}=3\)
AD BĐT Cộng mẫu số ta có:
\(\frac{1}{\sqrt[3]{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y+3z}}+\frac{1}{\sqrt[3]{z+3x}}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}}\ge\frac{9}{3}=3\)Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN của b.thức là P = 3 khi a = b = c =\(\frac{1}{4}\)