Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng
\(A = {a \over b +c -a} \)+ \( {b \over a +c -b}\)+ \({c\over a+b-c }\) > 3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 6 2018
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
12 tháng 6 2018
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 1 2021
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) ; \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế với vế:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều
17 tháng 1 2021
Đặt b+c-a=2x; c+a-b=2y; a+b-c=2z
hay \(a=y+z;b=x+z;c=x+y\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b+c-a}{2}\\y=\dfrac{c+a-b}{2}\\z=\dfrac{a+b-c}{2}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cosi, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)
\(\Leftrightarrow abc\ge8\cdot\dfrac{b+c-a}{2}\cdot\dfrac{c+a-b}{2}\cdot\dfrac{a+b-c}{2}\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)(đpcm)
17 tháng 1 2021
Ta có: \(\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\);
\(\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\);
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\).
Nhân vế với vế của các bđt trên với chú ý a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0 ta có:
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Mở rộng: Nếu a, b, c là các số thực không âm thì bđt đó vẫn đúng.
20 tháng 6 2018
vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác áp dụng bđt tam giác ta có\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\\a+c>b\Rightarrow a+c-b>0\\b+c>a\Rightarrow b+c-a>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b-c};\sqrt{a+c-b};\sqrt{b+c-a}\)luôn được xác định\(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)>=0\Rightarrow a+b-c-2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}+a+c-b\)\(>=0\Rightarrow a+b-c+a+c-b>=2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=\frac{2a}{2}\)
\(=a>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\)
tương tự ta có :\(b>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)};c>=\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)
\(\Rightarrow abc>=\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(a+c-b\right)^2\left(b+c-a\right)^2}=\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
20 tháng 6 2018
dòng 3 là vì \(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)^2>=0\)nhá
