Question

[Nguyễn Anh Tuấn]

Cho góc nhọn xOy >50 độ,lấy điểm A trên tia Ox (điểm A khác điểm O) và điểm B trên tia Oy sao cho OA=OB.Gọi H là trung điểm của đoạn AB.

a)Chứng minh ΔOAH =ΔOBH

b)Trên tia OH lấy điểm M sao cho OM>OH .Chứng minh AM=MB

c)Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt Ox tại E và Oy tại K. Chứng minh : OH⊥EK và OM là đường trung trực của đoạn thẳng EK

d)Gọi giao điểm của AK và BE là điểm S .Chứng minh tia OS là tia phân giác của góc xOy

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔOHA và ΔOHB có

OA=OB(gt)

OH là cạnh chung

HA=HB(do H là trung điểm của AB)

Do đó: ΔOHA=ΔOHB(c-c-c)

b) Ta có: ΔOHA=ΔOHB(cmt)

⇒\(\widehat{OHA}=\widehat{OHB}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{OHA}+\widehat{OHB}=180^0\)

nên \(\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

⇒OH⊥AB

hay MH⊥AB

Xét ΔMAB có

MH là đường cao ứng với cạnh AB(do MH⊥AB)

MH là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(do H là trung điểm của AB)

Do đó: ΔMAB cân tại M(định lí tam giác cân)

⇒AM=MB(đpcm)

c)Ta có: OH⊥AB(cmt)

AB//EK(gt)

Do đó: OH⊥EK(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)

mà M∈OH(gt)

nên OM⊥EK

Ta có: ΔOHA=ΔOHB(cmt)

⇒\(\widehat{AOH}=\widehat{BOH}\)(hai góc tương ứng)

mà tia OH nằm giữa hai tia OB,OA

nên OH là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)

hay OM là tia phân giác của \(\widehat{KOE}\)

Xét ΔKOE có

OM là đường cao ứng với cạnh KE(do OM⊥KE)

OM là đường phân giác ứng với cạnh KE(do OM là tia phân giác của \(\widehat{KOE}\))

Do đó: ΔKOE cân tại O(định lí tam giác cân)

⇒OK=OE

Xét ΔOMK vuông tại M và ΔEOM vuông tại M có

OK=OE(cmt)

OM là cạnh chung

Do đó: ΔOMK=ΔEOM(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒KM=ME(hai cạnh tương ứng)

hay M nằm trên đường trung trực của KE(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OK=OE(cmt)

⇒O nằm trên đường trung trực của KE(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ(1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của KE(đpcm)