Cho a,b thuộc R+ thỏa: a + b + 3ab = 1.
Tìm MaxP: \(P=\frac{6ab}{a+b}-a^2-b^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TC
0
DA
1
31 tháng 7 2020
do a>0, b>0 nên 1=a+b+3ab\(\ge3\sqrt[3]{3\left(ab\right)^2}\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{3\left(ab\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{27}\ge3\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{81}\ge\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{9}\ge ab\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt{ab}\)do đó
P=\(\frac{6ab}{a+b}-a^2-b^2=\frac{6ab}{a+b}-\left(a^2+b^2\right)\le\frac{6ab}{2\sqrt{ab}}-2ab=-2ab+3\sqrt{ab}=-2\left(ab-\frac{3}{2}\sqrt{ab}\right)\)
\(=-2\left[ab-2\sqrt{ab}\cdot\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{5}{6}\sqrt{ab}\right]\)
\(=-2\left(\sqrt{ab}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{9}+\frac{5}{3}\sqrt{ab}\le\frac{2}{9}+\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{9}\)
vậy maxP=\(\frac{7}{9}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b>0\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}}\)
18 tháng 9 2016
Ta có
a^3+b^3+3ab(a^2+b^2)+6ab(a+b)=a^3+b^3+3ab.a^2+3ab.b^2+6ab=a^3+b^3+3(a^2)b+3(b^2)a+3a(b-1)b^2+3b(a-1)a^2+6ab
=(a+b)^3+3ab((b-1).b+(a-1).a)+6ab=(a+b)^3+3ab((1-b).(-b)+(1-a)(-a))+6ab=(a+b)^3+3ab(-2ab)+6ab
=(a+b)^3+(-6ab)ab+6ab
=>(a+b)^3+6ab(-ab-1)=6ab(-ab-1)+1 Vậy M=6ab(-ab-1)+1
k cho mình nhá
8 tháng 6 2021
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\left(2\right)\end{cases}}\)
Theo đề bài:
\(a+b+3ab=1\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+12ab=4\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2\ge4\left(theo\left(1\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left[3\left(a+b\right)-2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)-2\ge0\left(a,b>0\Rightarrow a+b+2>0\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge\frac{2}{3}\)
`\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\ge\frac{4}{9}\left(theo\left(2\right)\right)\)
Áp dụng các kết quả trên, ta có:
\(\left(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\right)^2\le2\left(1-a^2+1-b^2\right)\)\(=4-2\left(a^2+b^2\right)\le4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\le\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
Ta có: \(\frac{3ab}{a+b}=\frac{1-\left(a+b\right)}{a+b}=\frac{1}{a+b}-1\le\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\3a^2+2a-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=\frac{1}{3}\left(a,b>0\right)}\)
Vậy max A là \(\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}\)
9 tháng 12 2016
\(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có : \(a^2+1\ge2a\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}\le\frac{1}{2a}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2+1}\le\frac{1}{2b}\) ; \(\frac{1}{c^2+1}\le\frac{1}{2c}\)
Cộng theo vế được :
\(P=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy maxP = 3/2 tại a = b = c = 1
NT
0
SW
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2021
Lời giải:
$1=a+b+3ab\leq (a+b)+3.\frac{(a+b)^2}{4}$
$\Rightarrow a+b\geq \frac{2}{3}$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2}{9}$
\(p=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\frac{1-(a+b)}{a+b}=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\frac{1}{a+b}-1\)
\(\leq \sqrt{(1-a^2+1-b^2)(1+1)}+\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\sqrt{2(2-a^2-b^2)}+\frac{1}{2}\)
Mà \(2-a^2-b^2\leq 2-\frac{2}{9}=\frac{16}{9}\)
Do đó:
\(P\leq \sqrt{\frac{32}{9}}+\frac{1}{2}=\frac{3+8\sqrt{2}}{6}\) và đây chính là giá trị max.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2021
SKY WARS:
Đặt $a+b=t$ thì:
$1\leq t+\frac{3}{4}t^2$
$\Leftrightarrow 4\leq 4t+3t^2$
$\Leftrightarrow 3t^2+4t-4\geq 0$
$\Leftrightarrow (3t-2)(t+2)\geq 0$
Vì $t>0$ nên $3t-2\geq 0\Rightarrow t\geq \frac{2}{3}$
Đặt \(a+b=x;ab=y\Rightarrow x^2\ge4y\)
Bài toán trở thành:
Cho các số thực x, y thỏa mãn \(x^2\ge4y\) và \(x+3y=1\).
Tìm Max: \(P=\frac{6y}{x}+2y-x^2\)
Lời giải:
Từ đề bài suy ra \(x=1-3y\) mà \(x^2\ge4y\Rightarrow9\left(y-1\right)\left(y-\frac{1}{9}\right)\ge0\)
\(P=\frac{6y}{1-3y}+2y-\left(1-3y\right)^2\)
\(=-\frac{3\left(y-\frac{1}{9}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(27y^2-30y+16\right)}{\left(3y-1\right)^2}+\frac{7}{9}\le\frac{7}{9}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(y=\frac{1}{9}\Rightarrow x=1-3y=\frac{2}{3}\Rightarrow a=b=\frac{1}{3}\)
@Akai Haruma: cô check giúp em ạ!
@Akai Haruma