K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 1 2020

Ta có: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^6+ab^5+b^6+a^5b\right)\ge a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\)

\(\Leftrightarrow ab^5+a^5b-a^2b^4-a^4b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(b^4+a^4-ab^3-a^3b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-ab^3-a^3b\ge0\left(Vì:ab>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)\ge0\)

\(a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(luôn-đúng\forall a,b\right)\)

Vì: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(a^2ab+b^2=a^2+ab+\frac{b^2}{4}+\frac{3}{4}b^2\)

\(=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall a,b\)

Từ trên ta suy ra: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)vớiab>0\left(đpcm\right)\)

29 tháng 1 2020

Thật ra mình thấy đến chỗ
(a-b)^2 . (a^2+ab+b^2) >= 0
Giải thích là ab>0 nên auto >= 0 là đc rồi
Không cần khai triển ra lắm :v

Câu 1:

Ta có: \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\) (1)

Ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2-2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

23 tháng 3 2018

5 , a3+b3+c3\(\ge\) 3abc

\(\Leftrightarrow\) a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc\(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2)-3ab(a+b+c) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)\(\ge0\) (1)

ta co : a,b,c>0 \(\Rightarrow\)a+b+c>0 (2)

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge0\)

<=> 2a2+2b2+2c2-2ac-2cb-2ab\(\ge0\)

<=>a2+b2+c2-ab-bc-ac\(\ge\) 0 (3)

Từ (1)(2)(3)=> pt luôn đúng

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2021

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a^5}{b^2(c+3)}+\frac{b(c+3)}{16}+\frac{ab}{4}\geq \frac{3}{4}a^2\)

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(A+\frac{5}{16}ab+\frac{3(a+b+c)}{16}\geq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\)

Mà theo BĐT AM-GM dễ thấy \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow A\geq \frac{7}{16}(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{16}(a+b+c)\)

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$a^2+1\geq 2a; b^2+1\geq 2b; c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)\geq a+b+c+3\sqrt[3]{abc}=a+b+c+3$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\Rightarrow A\geq \frac{1}{4}(a+b+c)\geq \frac{1}{4}\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{4}$
Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2021

Mình vừa sửa lỗi công thức, bạn load lại để xem nhé.

NV
18 tháng 9 2021

\(\dfrac{a^5}{b^2\left(c+3\right)}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{a\left(c+3\right)}{16}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^6b^2\left(c+3\right)}{64b^2\left(c+3\right)}}=\dfrac{3}{4}a^2\)

Tương tự: \(\dfrac{b^5}{c^2\left(a+3\right)}+\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{b\left(a+3\right)}{16}\ge\dfrac{3}{4}b^2\)

\(\dfrac{c^5}{a^2\left(b+3\right)}+\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{c\left(b+3\right)}{16}\ge\dfrac{3}{4}c^2\)

Cộng vế:

\(A+\dfrac{a^2+b^2+c^4}{4}+\dfrac{ab+bc+ca}{16}+\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{16}-\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}-\dfrac{9}{16}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{7}{16}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{7}{16}.3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{3}{4}\) (đpcm)

NV
30 tháng 6 2020

d/ \(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

e/ \(\Leftrightarrow a^6+b^6+a^5b+ab^5\ge a^6+b^5+a^4b^2+a^2b^4\)

\(\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2+ab^5-a^2b^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

f/ \(\frac{a^6}{b^2}+a^2b^2\ge2\sqrt{\frac{a^8b^2}{b^2}}=2a^4\) ; \(\frac{b^6}{a^2}+a^2b^2\ge2b^4\)

\(\Rightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge2a^4+2b^4-2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4+\left(a^4+b^4-2a^2b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4+\left(a^2-b^2\right)^2\ge a^4+b^4\)

NV
30 tháng 6 2020

a/ \(VT=a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\)

\(VT=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

\(VT\ge6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6\left|abc\right|\ge6abc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

b/ \(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)

c/ \(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{2}\ge\frac{a^3+b^3+3a^2b+3ab^2}{8}\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

23 tháng 5 2020

help me !!!!!!

23 tháng 5 2020

câu 6 là với mọi a,b,c lớn hơn hoặc bằng 1 nhé

6 tháng 10 2020

1. BĐT tương đương với \(6\left(a^2+b^2\right)-2ab+8-4\left(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-4a\sqrt{b^2+1}+4\left(b^2+1\right)\right]+\left[b^2-4b\sqrt{a^2+1}+4\left(a^2+1\right)\right]\)\(+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{b^2+1}\right)^2+\left(b-2\sqrt{a^2+1}\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

=> Đẳng thức không xảy ra

6 tháng 10 2020

2. \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(ab^2-a+c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^2+1\ge2a^2b^2-2a^2+2ac+2a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

28 tháng 2 2020

a)đpcm<=>(a2+3)2>4(a2+2)<=>(a2+1)2>0(lđ)

b)đpcm<=>\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)

Theo AM-GM\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4+b^4+b^4\ge4a^3b\\b^4+a^4+a^4+a^4\ge4b^3a\end{matrix}\right.\)

=>đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a=b

c)AM-GM:\(VT\ge256\left|abcd\right|\ge256abcd\)

Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 2, hai số còn lại bằng -2 hoặc cả 4 số bằng 2 hoặc cả 4 số bằng -2