Question

[Rosie]

chứng minh đa thức f(x) cố ít nhất 2 nghiệm nếu

xf(x-2)=(x-4).f(x)

Answer 1

[Vũ Minh Tuấn]

\(f\left(x\right)=x.f\left(x-2\right)=\left(x-4\right).f\left(x\right)\)

+ Thay \(x=4\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:

\(4.f\left(4-2\right)=\left(4-4\right).f\left(4\right)\)

\(\Rightarrow4.f\left(2\right)=0.f\left(4\right)\)

\(\Rightarrow4.f\left(2\right)=0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=0:4\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=0.\)

Vậy \(x=2\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (1).

+ Thay \(x=0\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:

\(0.f\left(0-2\right)=\left(0-4\right).f\left(0\right)\)

\(\Rightarrow0.f\left(-2\right)=-4.f\left(0\right)\)

\(\Rightarrow0=-4.f\left(0\right)\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)=0:\left(-4\right)\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)=0.\)

Vậy \(x=0\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (2).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) Đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất hai nghiệm là \(x=2\) và \(x=0\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!