cho các số dương a,b,c,d.Chứng minh
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 6 2018
Bài 1 :
Từ \(\frac{1}{4}< \frac{1}{3}\) suy ra \(\frac{1}{4}< \frac{1+1}{4+3}< \frac{1}{3}\) hay \(\frac{1}{4}< \frac{2}{7}< \frac{1}{3}\)
Từ \(\frac{1}{4}< \frac{2}{7}\)suy ra \(\frac{1}{4}< \frac{1+2}{4+7}< \frac{1}{3}\)hay \(\frac{1}{4}< \frac{3}{11}< \frac{1}{3}\)
Từ \(\frac{2}{7}< \frac{1}{3}\)suy ra \(\frac{2}{7}< \frac{2+1}{7+3}< \frac{1}{3}\)hay \(\frac{2}{7}< \frac{3}{10}< \frac{1}{3}\)
Vậy ta có : \(\frac{1}{4}< \frac{3}{11}< \frac{2}{7}< \frac{3}{10}< \frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt ( -_- )
25 tháng 6 2018
Bài 2 :
\(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+c}\left(1\right)\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b}{b+d}\left(2\right)\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{c}{c+a}\left(3\right)\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d}{d+b}\left(4\right)\)
Cộng ( 1 ), ( 2 ) , (3 ) và ( 4 ) theo từng vế ta được :
\(1=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}\)\(+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+c}{a+c}+\frac{b+d}{b+d}\)
Chúc bạn học tốt ( -_- )
11 tháng 5 2017
Ta có : (a+b)/(a+b+c)<(a+b)/(a+b+c+d) ; (b+c)/(b+c+d)<(b+c)/(a+b+c+d) ; (c+d)/(c+d+a)>(c+d)(a+b+c+d) ; (a+d)/(a+b+d)>(a+d)(a+b+c+d)
Cộng 4 bất đẳng thức trên rồi rút gọn vế phải sẽ ra kết quả như đề bài
Trên trường tui không nghĩ ra về nhà mới phát hiên ra được
11 tháng 5 2017
Cho mk hỏi bạn TMDuc va TNVuong thi cùng trường à. Sao lại có bài chung thế.
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
31 tháng 5 2021
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\).
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}< \frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+c}{c+a}=1\)
\(\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}=\frac{b+d}{d+b}=1\)
Suy ra đpcm.
FS
3 tháng 4 2019
Để \(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+d}+1+\frac{c-d}{d+a}+1+\frac{d-a}{a+b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(Cần phải chứng minh)
Ta có : \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\ge\left(a+c\right).\frac{4}{a+b+c+d}\left(1\right)\)(Áp dụng BĐT Cô-si)
\(\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\left(b+d\right).\frac{4}{a+b+c+d}\left(2\right)\)(Áp dụng BĐT Cô-si)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=4\)(Điều phải chứng minh)
