Cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn \(x+y\ge7\)
Chứng minh \(M=8x+9y+\frac{4}{x}+\frac{50}{y}\ge73\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
29 tháng 11 2019
\(VT=3\left(9x^2-12x+4\right)+\frac{8x}{1-x}=27x^2-36x+12+\frac{8x}{1-x}\)
\(=27x^2-36x+4+\frac{8}{1-x}=27x^2-18x-6+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}\)
\(=27x^2-18x+3+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}-9\)
\(=3\left(3x-1\right)^2+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}-9\)
\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{8^2}-9=7\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=\frac{1}{3}\)
2 tháng 1 2021
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
T
28 tháng 11 2019
Cho y ở đề bài làm gì trong khi biểu thức ở vế trái bên dưới ko có y?
17 tháng 1 2021
Dự đoán dấu bằng: \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\)
Bài làm:
Ta có:
\(A=3x+5y+\frac{4}{x}+\frac{75}{y}\)
\(A=\left(x+\frac{4}{x}\right)+\left(3x+\frac{75}{x}\right)+2\left(x+y\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
\(A\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}+2\sqrt{3x\cdot\frac{75}{x}}+2\cdot7\)
\(=2\cdot2+2\cdot15+14=48\)
Dấu "='' xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\)
Vậy Min(A) = 48 khi x = 2 và y = 5
17 tháng 1 2021
\(A=3x+5y+\frac{4}{x}+\frac{75}{y}\)
\(=2\left(x+y\right)+\left(x+\frac{4}{x}\right)+\left(3y+\frac{75}{y}\right)\)
\(\ge2\times7+2\sqrt{x\times\frac{4}{x}}+2\sqrt{3y\times\frac{75}{y}}\)( AM-GM )
\(=14+4+30=48\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 2 ; y = 5
Vậy MinA = 48, đạt được khi x = 2, y = 5
8 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwaz:
\(\left(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\right)\left[xy^2+y^2\left(x+2y\right)\right]\ge\left(x^2+3y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2xy^2+2y^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2y^2\left(x+y\right)}\) \(\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge x+y\)
Do đó: Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\(2y^2\left(x+y\right)\le2y^2\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x^2+y^2+2y^2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2y^2\left(x+y\right)\le\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{4}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Vậy \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\)
13 tháng 6 2021
Với mọi số thực ta luôn có:
`(x-y)^2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>x^2+y^2>=2xy`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>(x+y)^2>=16`
`<=>x+y>=4(đpcm)`
TQ
13 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))
=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)
<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)
<=> \(x+y-4\)≥\(0\)
Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)
Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)
<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)
=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)
<=> \(4-4\)≥0
<=>0≥0 ( Luôn đúng )
Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
22 tháng 2 2017
Áp dụng TCDTSBN ta có :
\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}=\frac{\left(a-b\right)+\left(b-c\right)-\left(a-c\right)}{x+y-z}=\frac{0}{x+y-z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{x}=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\) (1)
\(\Rightarrow\frac{b-c}{y}=0\Rightarrow b-c=0\Rightarrow b=c\) (2)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{z}=0\Rightarrow a-c=0\Rightarrow a=c\) (3)
Từ (1);(2) và (3) \(\Rightarrow a=b=c\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 4 2021
Lời giải:
$x^3-9y^2+9x-6y=1$
$\Leftrightarrow x^3+9x=9y^2+6y+1$
$\Leftrightarrow x(x^2+9)=(3y+1)^2$
Đặt $(x,x^2+9)=d$ thì suy ra $9\vdots d(*)$
$(3y+1)^2=x(x^2+9)\vdots d^2\Rightarrow 3y+1\vdots d$. Mà $(3y+1,3)=1$ nên $(3,d)=1(**)$
Từ $(*);(**)\Rightarrow d=1$, hay $x,x^2+9$ nguyên tố cùng nhau.
$\Rightarrow \frac{x}{x^2+9}$ là phấn số tối giản.
Ta có : \(M=\left(7x+7y\right)+\left(x+\frac{4}{x}\right)+\left(2y+\frac{50}{y}\right)\)
\(\ge7\left(x+y\right)+2\sqrt{x.\frac{4}{x}}+2\sqrt{2y.\frac{50}{y}}\)
\(\ge7.7+4+20=73\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 2; y = 5