Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em(mình) thử nhé, ko chắc đâu
3/ Ta có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2abc\)
\(=\left[ab\left(a+b\right)+abc\right]+\left[bc\left(b+c\right)+abc\right]+\left[ca\left(c+a\right)+ca\right]-abc\)
\(=\left(a+b+c\right)ab+\left(a+b+c\right)bc+\left(a+b+c\right)ca-abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)= -abc
Suy ra \(P=\frac{-abc}{abc}=-1\)
Vậy..
Bài 1: D
Bài 2:
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\pm1=\frac{c}{d}\pm1\)
\(\Rightarrow\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}\)(đpcm)
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)
Ta có
\(VT:\frac{a^{2018}+c^{2018}}{b^{2018}+d^{2018}}=\frac{b^{2018}\cdot k^{2018}+d^{2018}\cdot k^{2018}}{b^{2018}+d^{2018}}=\frac{k^{2018}\left(b^{2018}+d^{2018}\right)}{b^{2018}+d^{2018}}=k^{2018}\)
\(VP:\frac{\left(a+c\right)^{2018}}{\left(b+d\right)^{2018}}=\frac{\left(bk+dk\right)^{2018}}{\left(b+d\right)^{2018}}=\frac{k^{2018}\cdot\left(b+d\right)^{2018}}{\left(b+d\right)^{2018}}=k^{2018}\)
\(\Rightarrow VT=VP\)
Hay \(\frac{a^{2018}+c^{2018}}{b^{2018}+d^{2018}}=\frac{\left(a+c\right)^{2018}}{\left(b+d\right)^{2018}}\left(đpcm\right)\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ \Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\)
\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
a/ Một cách đơn giản hơn:
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)
\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)
\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
câu a phải là mũ 3 chứ bạn!!!
Nguyễn Thùy Trang
Sao trong tập tớ lại ghi mũ 2 thế nhờ à mà nếu cậu biết thì giải giúp tới nha