cm các bđt : a) $\frac{a}{a b} \frac{b}{b c} \frac{c}{c a}\ge\frac{3}{2}$ với $a\ge b\ge c>0$ b) $\frac{a b}{a^2 b^2} \frac{b c}{b^2 c^2} \frac{c a}{c^2 a^2}\le3$ với \(\left\{{}\begin{matrix}a...

1

BN

bach nhac lam

7 tháng 12 2019

Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,

Nguyễn Thị Ngọc Thơ, @tth_new

help me! cần gấp lắm ạ!

thanks nhiều!

NT

Nguyen Thi Bich Huong

17 tháng 10 2020

Chứng minh BĐT với a,b,c>0: $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{3}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)$

Áp BĐT Cô-si1. Cho a,b,c $\ge$ 0. Chứng minh các BĐT sau a. $\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3$ b. $a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc$ c. $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}$ d....

0

NA

Ngọc Ánh

9 tháng 11 2016

3

HL

Hoàng Lê Bảo Ngọc

9 tháng 11 2016

d/ Đặt $x=a+b$ , $y=b+c$ , $z=c+a$

thì : $a=\frac{x+z-y}{2}$ ; $b=\frac{x+y-z}{2}$ ; $c=\frac{y+z-x}{2}$

Ta có : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}$

$=\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-3\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

HL

Hoàng Lê Bảo Ngọc

9 tháng 11 2016

b/ $a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc$

$\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2abc+c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc+a^2\right)+\left(c^2a^2-2abc+b^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2+\left(bc-a\right)^2+\left(ca-b\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh.

Nêu các cách chứng minh BĐT Nesbitt.BĐT Nesbitt là một BĐT khá quen thuộc trong các bài toán BĐT,chúng ta hay tìm những lời giải cho BĐT này nhé!Đề: Cho a,b,c>0.CMR $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}$Cách 1:Thật vậy,ta...

T

tth_new

8 tháng 2 2019

4

KH

ʚ๖ۣۜKɦáηɦ ๖ۣۜHυүềηɞ‏

8 tháng 2 2019

ok , cảm ơn bạn !!!

Bài toán rất hay và bổ ích !!!

KB

Khôi Bùi

8 tháng 2 2019

Đây nhé

Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z

$\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}$

$\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b$

Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có :

$\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)$

$\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}$

( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y)

Cho a,b,c∈R.CM bđt $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ (1). Áp dụng cm các bđt sau: a)$\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)$ b)$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$ c)$\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$ d)$a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)$ e)$\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}vớia,b,c0$ f)$a^4+b^4+c^4\ge abc$ nếu...

TN

Tú Nguyễn

8 tháng 2 2020

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 2 2020

$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

a/ Từ BĐT ban đầu ta có:

$2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca$

$\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

$\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2$ (đpcm)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 2 2020

b/ Chia 2 vế của BĐT ở câu a cho 9 ta được:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$ (đpcm)

c/ Cộng 2 vế của BĐT ban đầu với $2ab+2bc+2ca$ ta được:

$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca$

$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$

d/ Áp dụng BĐT ban đầu cho các số $a^2;b^2;c^2$ ta được:

$\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

Mặt khác ta cũng có:

$\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\ge ab.bc+bc.ca+ab+ca=abc\left(a+b+c\right)$

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)$

TK

Trần Khánh Huyền

12 tháng 1 2020

1) $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}$

2) với $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.$ chứng minh $\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}\ge1$

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

14 tháng 1 2020

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}$$(*)$

Áp dụng BĐT AM-GM dễ thấy: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

$\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

14 tháng 1 2020

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{b}{3}+\frac{2c+a}{9}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b(2c+a)}.\frac{b}{3}.\frac{2c+a}{9}}=a$

$\frac{b^3}{c(2a+b)}+\frac{c}{3}+\frac{2a+b}{9}\geq b$

$\frac{c^3}{a(2b+c)}+\frac{a}{3}+\frac{2b+c}{9}\ge c$

Cộng theo vế và thu gọn ta có:

$\frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{b^3}{c(2a+b)}+\frac{c^3}{a(2b+c)}\geq \frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

NM

nguyễn minh

19 tháng 1 2020

cho $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=abc\end{matrix}\right.$.CMR: $\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}+3\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\sqrt{3}$

3

DD

đào danh phước

19 tháng 1 2020

cho {a,b,c>0a+b+c=abc{a,b,c>0a+b+c=abc\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=abc\end{matrix}\right..CMR: ba2+cb2+ac2+3≥(1a+1b+1c)2+√3ba2+cb2+ac2+3≥(1a+1b+1c)2+3\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}+3\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\sqrt{3}

DD

đào danh phước

7 tháng 1 2020

cho {a,b,c>0a+b+c=abc{a,b,c>0a+b+c=abc\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=abc\end{matrix}\right..CMR: ba2+cb2+ac2+3≥(1a+1b+1c)2+√3ba2+cb2+ac2+3≥(1a+1b+1c)2+3\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}+3\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\sqrt{3}

ND

Nguyễn Duy Long

6 tháng 10 2017

BĐT nhé ae: Với các ẩn dương nhé

1. abc=1. CM $sigma\left(\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\right)\le\frac{1}{2}$

2.$a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$CM $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

1

L

LIVERPOOL

7 tháng 10 2017

2/ GT <=> $\left(a+b+c\right)abc\ge ab+bc+ca$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)abc}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Sao hôm thứ 7 nghỉ

NT

Nguyễn Thiều Công Thành

8 tháng 8 2017

áp dụng cô si ta...

2

DD

Đinh Đức Hùng

8 tháng 8 2017

Dảnh àk =))

R

Rau

8 tháng 8 2017

Cứ đăng đi - úng hộ ^^

TN

Tú Nguyễn

13 tháng 2 2020

Cho a,b,c>0. CM các bđt sau:

a)$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2$

b)$3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)$

c)$9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3$

1

T

tthnew

13 tháng 2 2020

a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

$VT=\left(\frac{a^4}{a}+\frac{b^4}{b}+\frac{c^4}{c}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

$\ge\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\left(a+b+c\right)^2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

b) $VT-VP=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

c) Theo câu b và BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow3.3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)$

$\ge3\left(a+b+c\right)\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]=\left(a+b+c\right)^3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

TN

Tú Nguyễn

13 tháng 2 2020

áp dụng bđt cô si có dc k