Cho a,b,c > 0 và a.b.c = 1
Chứng minh: \(\dfrac{1}{a+2}\)+\(\dfrac{1}{b+2}\)+\(\dfrac{1}{c+2}\)≥1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 8 2021
\(abc=1\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{y}{x+2y}+\dfrac{z}{y+2z}+\dfrac{x}{z+2x}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2y}{x+2y}-1+\dfrac{2z}{y+2z}-1+\dfrac{2x}{z+2x}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x+2y}+\dfrac{y}{y+2z}+\dfrac{z}{z+2x}\ge1\)
Điều này đúng do:
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{z}{y}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}\left(\dfrac{x}{z}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{x}{z}\left(\dfrac{y}{x}+1\right)}\)
\(VT=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 4 2021
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{2}{2\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{c}+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}\)
Lại có:
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+1.1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(\dfrac{a}{b}+1\right)}+\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(\dfrac{b}{a}+1\right)}=\dfrac{1}{ab+1}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{c+1}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{c\left(c+1\right)+c+1}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)^2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 9 2021
Chắc là a;b;c hết chứ?
\(VT=\dfrac{a}{a+b+c+b-a}+\dfrac{b}{a+b+c+c-b}+\dfrac{c}{a+b+c+a-c}\)
\(VT=\dfrac{a}{c+2b}+\dfrac{b}{a+2c}+\dfrac{c}{b+2a}=\dfrac{a^2}{ac+2ab}+\dfrac{b^2}{ab+2bc}+\dfrac{c^2}{bc+2ac}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\) (đpcm)
11 tháng 9 2021
cho x,y,z>0 ,x+y+z=1 chu nhi?
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+y+z+y-x}=\dfrac{x}{2y+z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{y}{1+z-y}=\dfrac{y}{x+y+z+z-y}=\dfrac{y}{2z+x}\)
\(\Rightarrow\dfrac{z}{1+x-z}=\dfrac{z}{x+y+z+x-z}=\dfrac{z}{2x+y}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x}{2y+z}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+y}=\dfrac{x^2}{2xy+xz}+\dfrac{y^2}{2zy+xy}+\dfrac{z^2}{2xz+xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+xz\right)}=1\)
dau"=" xay ra<=>x=y=z=1/3
T
12 tháng 8 2017
Sửa đề: Chứng minh \(abc\le\dfrac{1}{8}\)
Ta có
\(\dfrac{1}{1+a}=\left(1-\dfrac{1}{1+b}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+c}\right)\)
\(=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\) (1)
Tương tự \(\dfrac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\) (2)
và \(\dfrac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\) (3)
Nhân (1), (2), (3) với nhau:
\(\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
12 tháng 8 2017
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự:
\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\left(2\right)\)
\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\left(3\right)\)
Nhân (1),(2) và (3) theo vế:
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow1\ge8abc\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/2
4 tháng 8 2017
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{a}\\y=\dfrac{1}{b}\\z=\dfrac{1}{c}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\) và BĐT cần chứng minh là:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và AM-GM ta có:
\(VT=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y=z=1 \Rightarrow a=b=c=1\)
4 tháng 8 2017
ai tick cho mik , mik tick lại cho !^__<
nhớ giải câu hỏi nhé ! thanks
Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\Rightarrow abc=1\left(TMGT\right)\)
Ta có:
\(\frac{1}{a+2}=\frac{1}{\frac{x}{y}+2}=\frac{1}{\frac{x+2y}{y}}=\frac{y}{x+2y}=\frac{y^2}{xy+2y^2}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b+2}=\frac{z^2}{yz+z^2};\frac{1}{c+2}=\frac{x^2}{zx+x^2}\)
Ta có:
\(\frac{x^2}{xz+2x^2}+\frac{y^2}{xy+2y^2}+\frac{z^2}{yz+2z^2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx}\)
Mặt khác \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Rồi OK.Đến đây tịt r:( GOD nào vào thông não hộ ạ:(
Sửa đề thành \(\le1\).Bài này cứ quy đồng full nha! Em có làm ở đây r: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 0 - Học toán với OnlineMath