Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện: \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
Tìm Max \(P=xy+yz+xz-2xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LM
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 12 2021
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z
\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)
Mặt khác từ giả thiết:
\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)
\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)
\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)
Do đó:
\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)
\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2021
\(4x^2+4y^2\ge8xy\)
\(16x^2+z^2\ge8zx\)
\(16y^2+z^2\ge8yz\)
Cộng vế với vế:
\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 4 2021
\(P=xy+yz+zx-2xyz=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-2xyz\)
\(P=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+xyz\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow z\le\dfrac{1}{3}\)
\(P=xy\left(1-2z\right)+z\left(x+y\right)=xy\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)=\dfrac{\left(1-z\right)^2\left(1-2z\right)}{4}+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{1+z^2-2z^3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{z.z.\left(1-2z\right)}{4}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{27.4}\left(z+z+1-2z\right)^3=\dfrac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
NP
1
24 tháng 2 2020
Ta có:
P=\(\left(X^2+y^2+z^2+2xyz\right)-\left(X^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\) xz)
= 1-\(\left(x^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\)
=> P \(\le\)1
Vậy MaxP=1
HP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=xy+yz+xz+2xyz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+2.\frac{(x+y+z)^3}{27}$
$\Leftrightarrow 1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}$ (đặt $x+y+z=t$)
$\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\geq 0$
$\Leftrightarrow (t+3)^2(2t-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow 2t-3\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ hay $x+y+z\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
AJ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2020
Bài này x;y;z phải dương chứ nhỉ? Có dấu "=" ở số 0 thế kia thì bối rối quá
Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn tồn tại 2 số nằm cùng phía so với \(\frac{1}{2}\) ; giả sử đó là x và y
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y\right)-xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x+y-2xy\le\frac{1}{2}\)
Mặt khác:
\(1=2xyz+x^2+y^2+z^2\ge2xyz+2xy+z^2=2xy\left(1+z\right)+z^2\)
\(\Rightarrow1-z^2\ge2xy\left(1+z\right)\Leftrightarrow\left(1-z\right)\left(1+z\right)\ge2xy\left(1+z\right)\)
\(\Leftrightarrow1-z\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1-z}{2}\)
\(\Rightarrow P=xy+z\left(x+y-2xy\right)\le\frac{1-z}{2}+\frac{z}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
\(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
\(\Leftrightarrow2xyz=1-x^2-y^2-z^2\)
\(\Rightarrow P=xy+yz+xz-2xyz=xy+yz+xz+x^2+y^2+z^2-1\)
\(\Rightarrow2P=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2-2\ge1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)