Cho x,y>0 thỏa mãn xy≤y-1
tính giá trị nhỏ nhất của \(G = {x^2+y^2 \over xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HL
0
NV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 10 2021
\(y\ge1+xy\Rightarrow1\ge\dfrac{1}{y}+x\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le4\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(G=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{16x}\right)+\dfrac{15}{16}.\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
NV
0
3 tháng 5 2019
a) \(6xy+4x-9y-7=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)
Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)
Tự làm típ
4 tháng 5 2019
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))
\(A=x^2+y^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
4 tháng 6 2021
có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)
có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)
từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2
ND
1
29 tháng 3 2019
Áp dụng bđt Cô-si \(1=x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
Ta có \(A=\frac{-2xy}{1+xy}\ge\frac{-\frac{2.1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2023
Lời giải:
$xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1-xy$
$\Rightarrow (1+x^2)(1+y^2)=(1-xy)^2$ (bp 2 vế)
$\Leftrightarrow x^2+y^2=-2xy$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=0\Leftrightarrow x=-y$.
Khi đó:
$M=(x+\sqrt{1+(-x)^2})(-x+\sqrt{1+x^2})=(\sqrt{1+x^2}+x)(\sqrt{1+x^2}-x)$
$=1+x^2-x^2=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
\(y\ge xy+1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x}}\ge2\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(Q=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\)
\(Q=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{\left(a-4\right)\left(3a-1\right)}{4\left(a^2+1\right)}+\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)
\(Q_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
