Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = ( a + b + c) ( 1/a + 1/b + 1/c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1
\(A=\dfrac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}=\dfrac{\left(a+b+c+a\right)\left(b+a+b+c\right)\left(c+a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)
\(A\ge\dfrac{2\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}.2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
BK
1
25 tháng 1 2022
Theo BĐT Cauchy Schwarz
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1/3
GM
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 3 2021
Ta có:
\(P=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c+36abc\right)\)
\(P=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+3+36\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{b^2+c^2}{bc}+\dfrac{c^2+a^2}{ca}+3+36\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{ca}-3+36\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}-3+36\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}+36\left(ab+bc+ca\right)-3\ge2\sqrt{\dfrac{4.36\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}}-3=21\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 3 2021
Lời giải:
Nếu bạn học dồn biến- thừa trừ rồi thì có thể làm như sau:
$P=\frac{ab+bc+ac}{abc}(1+36abc)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+36(ab+bc+ac)=f(a,b,c)$
Giả sử $c=\max(a,b,c)$. Ta sẽ chứng minh $f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$
Thật vậy:
\(f(a,b,c)- f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}+36.\frac{4ab-(a+b)^2}{4}\)
\(=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}-9(a-b)^2=(a-b)^2(\frac{1}{ab(a+b)}-9)\)
Vì $c=\max (a,b,c)$ mà $a+b+c=1\Rightarrow a+b\leq \frac{2}{3}$
$\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^2\leq \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{1}{ab(a+b)}\geq \frac{27}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{ab(a+b)}-9>0$
Do đó: $f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$
Mà:
$f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)-21=\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}+36[\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)]-21$
$=\frac{4}{1-c}+\frac{1}{c}+9(1-c)^2+36c(1-c)-21$
$=\frac{3c+1}{c(1-c)}+9(1-c)^2+36c(1-c)-21$
$=(3c-1)^2.\frac{3c^2-3c+1}{c(1-c)}\geq 0$ với mọi $1>c\geq \frac{1}{3}$
Do đó $f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)\geq 21$
$\Rightarrow f(a,b,c)\geq 21$
Hay $P_{\min}=21$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Vậy MinP=9 đạt được khi a=b=c
Ta có : \(P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}++\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
= \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) với mọi \(x,y\) dương
\(\Rightarrow P\ge3+2+2+2=9\)
Vậy \(P_{min}=9\) khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!