Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn \(a^4+b^4+c^4=3.CMR:\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 12 2018
lp 8 mà khó thế -,-
Có \(4=a^4+b^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(abc\right)^4}=4abc\)\(\Leftrightarrow\)\(-abc\ge-1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}=\frac{a+b+c}{4-abc}\le\frac{a+b+c}{4-1}=\frac{a+b+c}{3}\)
Lại có \(3=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^4\le81\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le\frac{a+b+c}{3}\le\frac{3}{3}=1\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
28 tháng 3 2019
Cosi + Svac-xơ
Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)
\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
17 tháng 1 2016
cái này dễ lắm. thế này nhé. \(a^4\ge0\), b và c cũng thế. suy ra để \(a^4+b^4+c^4=3\)thì a,b,c phải bằng 1 (vì a,b,c nguyên dương hay lớn hơn 0). thế là thay vào rồi suy ra biểu thức kia nhỏ hơn hoặc bằng 1 thôi
mình giải đúng 100%. tích đúng cho mình nhé
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2020
Ta có đánh giá sau:
Với \(0< x< \sqrt{3}\) ta luôn có: \(\frac{1}{4-x}\le\frac{x^2+5}{18}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\ge18\)
\(\Leftrightarrow-x^3+4x^2-5x+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2-x\right)\left(x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(x\in\left(0;\sqrt{3}\right)\))
Do \(3=a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\Rightarrow0< ab;bc;ca< \sqrt{3}\)
Áp dụng ta có: \(\frac{1}{4-ab}\le\frac{a^2b^2+5}{18}\) ; \(\frac{1}{4-bc}\le\frac{b^2c^2+5}{18}\) ; \(\frac{1}{4-ca}\le\frac{c^2a^2+5}{18}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+15}{18}\le\frac{3+15}{18}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NB
29 tháng 4 2021
#https://olm.vn/hoi-dap/detail/203085493090.html
Bạn tham khảo ạ
T
25 tháng 6 2019
#)Tham khảo trong hai link này nhé :
Chứng minh: $\frac{1}{{4 - ab}} + \frac{1}{{4 - bc}} + \frac{1}{{4 - ca}} \le ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1 ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
P/s : Vô thống kê hỏi đáp ms dùng đc link nhé !
27 tháng 6 2019
Ta có: \(a^4+b^4+c^4=3\Rightarrow0\le a^4;b^4;c^4\le3\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt[4]{3}\)
=> \(ab,bc,ac\le\sqrt[4]{9}\)
Xét: \(\frac{18}{4-x}\le x^2+5,\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
<=> \(18\le\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\)
<=> \(\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\)luôn đúng với \(\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
Như vậy:
\(\frac{18}{4-ab}+\frac{18}{4-bc}+\frac{18}{4-ac}\le\left(ab\right)^2+5+\left(bc\right)^2+5+\left(ac\right)^2+5\)
\(=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+15\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+c^4}{2}+15\)
\(=a^4+b^4+c^4+15=18\)
=> \(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\le1\)
"=" xảy ra <=> a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
5 tháng 6 2019
Trước hết ta cần chứng minh BĐT :
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^3-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]\ge0\) ( đúng )
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có :
\(\sum\frac{ab}{a^4+b^4+1}\le\sum\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+abc}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+c}\le\sum\frac{1}{2ab+\frac{1}{ab}}\le\sum\frac{1}{2\sqrt{ab.\frac{1}{ab}}+ab}=\sum\frac{1}{2+1}=1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)
@Trần Thanh Phương; @Lê Thị Thục Hiền @No choice teen
\(3=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)
Đặt \(\left(ab;bc;ca\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\le3\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{4-x}+\frac{1}{4-y}+\frac{1}{4-z}\le1\)
Dễ dàng chứng minh \(\frac{1}{4-x}\le\frac{x+2}{9}\) với \(0< x< 3\)
Thật vậy, BĐT \(\Leftrightarrow9\le\left(x+2\right)\left(4-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự ta có \(\frac{1}{4-y}\le\frac{y+2}{9}\) ; \(\frac{1}{4-z}\le\frac{z+2}{9}\)
Cộng vế với vế: \(VT\le\frac{x+y+z+6}{9}\le\frac{3+6}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)