Cho các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC cân tại A sao cho tứ giác MNAP là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng minh \(\widehat{OMP}\)= \(\widehat{AMN}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 3 2016
Gọi D là đỉnh thức tư của hình bình hành ABDC. Khi đó, O, M, D thẳng hàng.
Do giả thiết nên DB//MP, DC//MN. Từ đó, do O, M, D thẳng hàng, nên góc PMO = góc OMN <=> OM là phân giác góc PMN <=> DM là phân giác góc BDC
\(\Leftrightarrow\frac{MB}{MC}=\frac{DB}{DC}\)
Nhưng tứ giác ABDC là một hình bình hành nên BD = AC, CD = AB
do đó : \(\frac{DB}{DC}=\frac{AC}{AB}\)
Vì vậy :
góc PMO bằng góc OMN \(\Leftrightarrow\frac{MB}{MC}=\frac{AC}{AB}\)
Vậy với M là điểm trên cạnh BC sao cho \(\frac{MB}{MC}=\frac{AC}{AB}\) (hay M đối xứng với chân phân giác trong góc BAC qua trung điểm cạnh BC) thì góc PMO bằng góc OMN => Điều cần chứng minh
27 tháng 11 2023
a: Xét ΔNPC có I,K lần lượt là trung điểm của NP,NC
=>IKlà đường trung bình của ΔNPC
=>IK//PC và IK=PC/2
IK//PC
\(J\in PC\)
Do đó: IK//JP
IK=PC/2
PC=PB
\(JP=\dfrac{BP}{2}\)
Do đó: IK=JP
Xét tứ giác IKPJ có
IK//PJ
IK=PJ
Do đó: IKPJ là hình bình hành
b: Xét ΔACN có
K,Q lần lượt là trung điểm của CN,CA
=>KQ là đường trung bình của ΔACN
=>KQ//AN và \(KQ=\dfrac{AN}{2}\)
Xét ΔPNB có
I,J lần lượt là trung điểm của PN,PB
=>IJ là đường trung bình của ΔPNB
=>IJ//NB và \(JI=\dfrac{NB}{2}\)
JI//NB
KQ//AN
A,N,B thẳng hàng
Do đó: JI//KQ
\(JI=\dfrac{BN}{2}\)
\(KQ=\dfrac{AN}{2}\)
mà BN=AN
nên JI=KQ
Xét tứ giác QKJI có
QK//JI
QK=JI
Do đó: QKJI là hình bình hành
c: KQ//AN
N\(\in\)AB
Do đó: KQ//AB
KP//AB
KQ//AB
KQ,KP có điểm chung là K
Do đó: Q,K,P thẳng hàng
\(QK=\dfrac{AN}{2}\)
\(PK=\dfrac{BN}{2}\)
mà AN=BN
nên QK=PK
mà Q,K,P thẳng hàng
nên K là trung điểm của PQ
ML
19 tháng 3 2016
Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}\)
Do B. M, C thẳng hàng theo thứ tự, nên tồn tại n, p > 0 sao cho \(\overrightarrow{AM}=n\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}\) với \(n+p=1\)
Từ đó, do tứ giác ANMP là hình bình hành, nên \(\overrightarrow{AP}=p\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{c}\)
Do B, O, N thẳng hàng và C, O, P thẳng hàng nên
\(\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{b}+ny\overrightarrow{c}=z\overrightarrow{c}+pt\overrightarrow{b}\)
trong đó \(x+y=1=z+t\)
Từ đó, do hai vectơ \(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không cùng phương nên \(x=\frac{p\left(1-n\right)}{1-np}\) và \(y=\frac{1-p}{1-np}\)
Do đó :
\(\overrightarrow{AO}=\frac{p\left(1-n\right)}{1-np}.\overrightarrow{b}+\frac{n\left(1-p\right)}{1-np}.\overrightarrow{c}\)
Suy ra :
\(\left(1-np\right).\overrightarrow{OM}=\left(1-np\right)\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AO}\right)=np\left(1-p\right)\overrightarrow{b}+np\left(1-n\right)\overrightarrow{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1-np}{np}.\overrightarrow{OM}=\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)-\left(n\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}\right)\)
Hay
\(\overrightarrow{AM}=np\overrightarrow{AD}+\left(1-np\right)\overrightarrow{AO}\)
Trong đó D là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) Từ đó, đường thẳng OM luôn đi qua D cố định (D là đỉnh thứ tư của hình bình hàng ABDC)
