Cho a,b,c \(\ge\)0 TM \(a^2+b^2+c^2=1\) CM
\(\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ac}+\frac{a}{1+bc}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
N
Cho a,b,c tm \(ab+bc+ca\le3abc\)
Cm \(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{3}{2}\)
0
17 tháng 6 2019
đề bài
cm
1/a+2 + 1/b+2 +1/c+2 <=1
bn p viết đề chứ???
##thiêndi###
27 tháng 12 2015
\(1.\sqrt{a^2+ab+b^2}\le\frac{1+a^2+ab+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{\frac{1+a^2+ab+b^2}{2}}+\)\(\frac{1}{\frac{1+b^2+cb+c^2}{2}}+\)\(\frac{1}{\frac{1+c^2+ac+a^2}{2}}\)\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\frac{1+a^2+ab+b^2}{2}+\frac{1+b^2+bc+c^2}{2}+\frac{1+c^2+ca+a^2}{2}}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+\frac{\left(ab+bc+ca\right)+3}{2}}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=VP\)
vì 3 </ 3 ( ab+bc+ca)
MW
2
TN
10 tháng 10 2017
\(VT=\frac{c+ab}{a+b}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{a+bc}{b+c}\)
\(=\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}\)
\(=\frac{ac+bc+c^2+ab}{a+b}+\frac{ab+b^2+cb+ac}{a+c}+\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}\)
\(=\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{a+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)
Hình như là \(\ge2\) mới đúng bạn ạ :v
30 tháng 8 2017
nhầm lẫn 1 số chỗ nên giờ mới ra,mong bn thông cảm
ta có:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}=1\)
đặt \(P=\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)
áp dụng bunhia ta có:
\(P\left(a+b+c\right)\ge\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{a+b+c}\)
S
11 tháng 7 2019
\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2+2bc+c^2\\b^2=a^2+2ac+c^2\\c^2=a^2+2ab+b^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+c^2-a^2=-2bc\\a^2+c^2-b^2=-2ac\\a^2+b^2-c^2=-2ab\end{matrix}\right.\Rightarrow P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
VH
11 tháng 7 2019
a) \(P=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{a^2+c^2-b^2}\) ( Sửa đề )
\(P=\frac{1}{\left(b+c\right)^2-2ab-a^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2-2ab-c^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2-2ac-b^2}\)
Vì a + b + c = 0
Nên a + b = -c
=> ( a + b )2 = (-c)2 = c2
Tương tự: ( b + c )2 = a2 và ( a + c )2 = b2
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a^2-2bc-a^2}+\frac{1}{c^2-2ab-c^2}+\frac{1}{b^2-2ac-b^2}\)
\(P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2ac}\)
\(P=\frac{a+b+c}{-2abc}=\frac{0}{-2abc}=0\)
22 tháng 1 2018
dự đoán của chúa Pain A=B=C=1 thế thôi éo nói nhiều làm j :)
áp dụng cô si ta có
\(\frac{3}{a+b+c}+\frac{\left(a+b+C\right)}{3}\ge2\sqrt{\frac{3.\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right).3}}=2.\)
ÁP DỤNG co si tiếp tao có \(\frac{2}{abc}+2abc\ge2\sqrt{\frac{4abc}{abc}=}=4\)
theo cô si ta có \(a+B+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\frac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{3}+4\)
\(3.\left\{\frac{3}{\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{3}\right\}\ge3.\left\{2\sqrt{\frac{3\left(a+b+c\right)}{3\left(a+b+c\right)}}\right\}=6\)
từ 1 và 2 ta được
\(6\ge2+4\)
bây giờ mày thử ấn máy tính đi xem 2+4= bao nhiêu rồi tích cho tao nhé xDDDDD
22 tháng 1 2018
bạn ơi cái chỗ \(\frac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{3}+4.\) là t viết nhầm nhé sủa lại thành \(\frac{9}{a+b+c}\ge2+4\) nhé
