Question

[ngoc bich 2]

Cho a,b,c là 3 số thực bất kì thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh:

\(8^a+8^b+8^c\ge2^a+2^b+2^c\)

Mọi người giúp với....

Answer 1

[Trần Phúc Khang]

Đặt \(2^a=x;2^b=y;2^c=z\left(x,y,z>0\right)\)

=>\(xyz=2^{a+b+c}=1\)

Khi đó ĐPCM trở thành

\(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)

Cosi \(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z\)

=> \(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\)

Mà \(\)\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

=> \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1=> \(a=b=c=0\)

Answer 2

[Phùng Minh Quân]

Trần Phúc Khang hình như chỗ \(x+y+z\ge3\)\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\) ngược dấu đó anh 

Cần chứng minh: \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)

\(x^3+y^3+z^3\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^4}{9}}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)

Mà \(x+y+z=2^a+2^b+2^c\ge3\sqrt[3]{2^{a+b+c}}=3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2\ge9\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\le x^3+y^3+z^3\) đpcm

sai thì mn góp ý ạ