Cho biết a b c=2p. CM: 1/p-a 1/p-b 1/p-c -1/p= abc/p(p-a)(p-b)(p-c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LM
0
KT
29 tháng 4 2018
C/m BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (*) (x,y dương)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (BĐT đã đc chứng minh)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
ÁP dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\) (1)
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{p-b+p-c}=\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}=\frac{4}{a}\) (2)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{p-c+p-a}=\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}=\frac{4}{b}\) (3)
Lấy (1); (2); (3) cộng theo vế ta được:
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Khi đó \(\Delta ABC\)là tam giác đều
2 tháng 10 2016
\(a+b+c=2p\Rightarrow p=\frac{a+b+c}{2}\)
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-c}-\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}}\)
\(=\frac{1}{\frac{b+c-a}{2}}+\frac{1}{\frac{a+c-b}{2}}+\frac{1}{\frac{a+b-c}{2}}-\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}}\)
\(=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{a+c-b}+\frac{2}{a+b-c}-\frac{2}{a+b+c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
b/ Áp dụng BĐT ở câu a:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{b}\)
Cộng vế với vế: \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ \(2p=a+b+c=18\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{18^2}{3}=108\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=6\)
NC
29 tháng 8 2020
Bài làm:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)
b) Tương tự phần a ta chứng minh được:
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c
c) Ta có: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}\)
\(=\frac{1}{\frac{b+c-a}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a-b}{2}}=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\)
\(=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\frac{4}{2c}=\frac{4}{c}\) (Cauchy Schwars)
Tương tự ta CM được:
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
Cộng vế 3 BĐT vừa CM lại ta được:
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=> \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c
29 tháng 8 2020
a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
=> a,b,c > 0
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
<=> \(\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> \(\frac{ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a^2+ab}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> \(\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> \(\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
a, b > 0 => \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\ab>0\\a+b>0\end{cases}}\forall a,b\)
Vậy bđt được chứng minh
Đẳng thức xảy ra \(\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)( do ab(a+b) > 0 )
b) CMTT ta có : \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\); \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế của bđt ta được :
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Còn ý c) thì mình chưa làm được vì chưa nghiên cứu sâu về bđt
Tham khảo bài bạn @godatakeshidang nhé ^^
