K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 7 2019

\(1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}=\frac{k^2.\left(k+1\right)^2+\left(k+1\right)^2+k^2}{k^2\left(k+1\right)^2}\)

\(=\frac{k^2\left(k+1\right)^2+2k\left(k+1\right)+1}{k^2\left(k+1\right)^2}=\frac{\left(k\left(k+1\right)+1\right)^2}{k^2\left(k+1\right)^2}\)

=> \(\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}=\frac{k\left(k+1\right)+1}{k\left(k+1\right)}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)

=> \(\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+....+\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}\)

\(=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)

\(=k+1-\frac{1}{k+1}\)

=> \(\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+....+\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}=\frac{2017^2-1}{2017}\)

<=> \(k+1-\frac{1}{k+1}=2017-\frac{1}{2017}\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1-2017\right)-\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2017}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(k-2016\right)\left(1+\frac{1}{2017.\left(k+1\right)}\right)=0\)

<=> k=2016

22 tháng 5 2020

Câu b đề sai nha, bây giờ đặt \(a=\sqrt{2017},b=\sqrt{2018}\)

Ta có \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}< a+b\Leftrightarrow ab\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\right)< ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3< ab\left(a+b\right)\)(1)

Mà \(ab\left(a+b\right)\le\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)=a^3+b^3\)(2)

Từ (1), (2) => Sai

22 tháng 5 2020

a) Ta có:

\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{k+1-k}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}\)\(< \frac{2\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k+1}\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}}-\frac{2}{\sqrt{k+1}}\)

Cho k=1,2,....,n rồi cộng từng vế ta có:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< \left(\frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)\(+\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{4}}\right)+....+\left(\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n-1}}< 2\)

7 tháng 2 2019

Nhanh k cho nè

7 tháng 2 2019

làm lần lượt nhá,dài dòng quá khó coi.ahihihi!

\(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{49}}+\frac{1}{49}-\frac{1}{7\left(\sqrt{7}\right)^2}}{\frac{\sqrt{64}}{2}-\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^2-\frac{4}{343}}=\frac{1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}}{4-\frac{4}{7}+\frac{4}{49}-\frac{4}{343}}\)

\(=\frac{1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}}{4\left(1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}\right)}=\frac{1}{4}\)

29 tháng 9 2017

Ta có :   \(\left(x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)=2017\left(1\right)\)

    \(\left(y+\sqrt{y^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\left(2\right)\)

        nhân theo vế của ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có :

     \(2017\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017^2\)

    \(\Rightarrow\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\)

  rồi bạn nhân ra , kết hợp với việc nhân biểu thức ở phần trên xong cộng từng vế , cuối cùng ta đc :

     \(xy+\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017\)

     \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017-xy\)

     \(\Leftrightarrow x^2y^2+2017\left(x^2+y^2\right)+2017^2=2017^2-2\cdot2017xy+x^2y^2\) 

       \(\Rightarrow x^2+y^2=-2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\Rightarrow x=-y\)

  A = 2017 

 ( phần trên mk lười nên không nhân ra, bạn giúp mk nhân ra nha :)   )

29 tháng 9 2017

2/ \(\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}+\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}+\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}=3\)

\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-2011-4\sqrt{x-2011}+4}{x-2011}\right)+\left(\frac{y-2012-4\sqrt{y-2012}+4}{y-2012}\right)+\left(\frac{z-2013-4\sqrt{z-2013}+4}{z-2013}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-2011}-2\right)^2}{x-2011}+\frac{\left(\sqrt{y-2012}-2\right)^2}{y-2012}+\frac{\left(\sqrt{z-2013}-2\right)^2}{z-2013}=0\)

Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x-2011}=2;\sqrt{y-2012}=2;\sqrt{z-2013}=2\)

\(\Leftrightarrow x=2015;y=2016;z=2017\)

6 tháng 5 2020

Áp dụng Bunhia cho bộ số (1;1;1) vfa (a;b;c) ta có 3(a2+b2+c2) >= (a+b+c)2

=> 3(2a2+b2) >=(2a+b2); 3(2b2+c2) >= (2b+c)2; 3(2c2+a2) >= (2c+a)2

=> \(P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)

Ta có \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x+y+z}\)

=> \(P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+b}\le\frac{1}{9}\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\right]\)

=> \(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(I\right)\)

Ta có \(10\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015\)

\(=3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+2015\left(II\right)\)

Áp dụng Bunhia cho bộ số (1;1;1) và \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\)

Ta được \(3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

=> \(10\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge10\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\left(III\right)\)

Từ (I)(II)(III) => \(3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+2015\ge10\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\cdot2015\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\sqrt{3\cdot2015}\left(IV\right)\)

Từ (I)(IV) => \(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3\cdot2015}=\sqrt{\frac{2015}{3}}\)

Vậy GTNN của P=\(\sqrt{\frac{2015}{3}}\)khi a=b=c và \(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015\)

=> \(a=b=c=\sqrt{\frac{3}{2015}}\)

6 tháng 5 2020

Identitya,b,c đã dương???

5 tháng 1 2021

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....

5 tháng 1 2021

.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có

20 tháng 5 2019

Ta có:\(7\left(\frac{1}{a^2}+...\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+2015\)

Mà \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le2015\)=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{6045}\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+...\)

Mà \(\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)\ge\left(2a+b\right)^2\)(bất dẳng thức buniacoxki)

=> \(P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)

Lại có \(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

=> \(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\le\frac{\sqrt{6045}}{3}\)

Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6045}}{3}\)khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{6045}}{2015}\)