Bài toán :
Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\). Hãy tính x + y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MH
22 tháng 11 2023
Ta có:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
TH1: x,y,z <0
\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)
TH2: x,y,z>0
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)
22 tháng 11 2023
Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)
\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)
Tương tự như thế, ta được
\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.
22 tháng 10 2017
ta có: xy+yz+zx=1
=> \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
c/m tương tự ta đc: \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
thay vào A ta đc:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\)\(\Rightarrow A=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow A=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow A=2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A=2\) vì xy+yz+zx=1
16 tháng 8 2020
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)
Ta có bảng :
| \(x+\sqrt{1+x^2}\) | 1 | -1 |
| \(y+\sqrt{1+y^2}\) | 1 | -1 |
| x | 0 | vô nghiệm |
| y | 0 | vô nghiệm |
16 tháng 8 2020
lỗi @@ đọc nhầm trên tưởng giải PT chưa có nhin xuống \(\left(x+y\right)^2\)
Làm lại nhớ _-_ sai chịu, làm cái này kham khảo hơi nhìu, chill :v
\(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\\\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)=1\end{cases}}\)
Kết hợp giả thiết \(x+\sqrt{1+x^2}=y+\sqrt{y^2+1}\)và
\(\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\\\sqrt{y^2+2013}-y=x+\sqrt{x^2+1}\end{cases}}\)
Cộng theo vế ta có : \(-x-y=x+y\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=0\)
8 tháng 8 2021
Công thức tổng quát:
Áp dụng vào bài toán thì ta có Q=0.75
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\) (1)
Tương tự: \(x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\) (2)
Cộng vế với vế và rút gọn:
\(x+y=-x-y\Leftrightarrow x+y=0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)
\(\Rightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\)(1)
Tương tự \(x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\)(2)
Lấy (1) + (2) đc x + y = -x - y
<=> 2(x + y) = 0
<=> x + y = 0